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量子宇宙 [:1700921905]
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量子宇宙 波包
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现在我们要回到本章早先跳过的一个重要问题。我们说过，初始钟群整体运动到X点附近，但只是大致保持其原始构型。作者这个相当不精确的说法，到底是什么意思？这个问题的答案会给出与海森伯不确定性原理的关联，以及进一步见解。
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我们一直在用描述一块钟群的变化，来代表一个会在空间中一个小区域内某处被找到的粒子。在图5.1中，这就是五块钟所跨越的区域。像这样的钟群被称为波包（wave packet）。但我们已经看到，将粒子禁闭在空间中的某区域内会产生的后果。我们不能避免一个局域粒子得到海森伯之踢（也就是其动量不确定，因为它是局域的）；随着时间流逝，这会导致粒子“渗漏”出其起初所在的区域。这个效应在所有钟的示数都相同时存在，而在钟群移动的情形中也是。它使波包倾向于扩散，就像静止粒子随时间扩散一样。
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如果等足够久，对应于移动钟群的波包会完全解体；我们将失去预测粒子位置的能力。这显然会影响到对粒子速度测量的尝试。我们来看看结果会怎样。
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测量粒子速度的一个好方法是，在两个不同的时刻测量其位置。之后就能通过用粒子运动的距离，除以两次测量间隔的时间，得到速度。然而，根据我们刚才所说，这看似是一件危险的事。因为如果对粒子位置的测量过于精确，则有压缩其波包的可能，这就会改变它后续的运动。如果我们不想给粒子一个显著的海森伯之踢（即明显的动量改变，因为我们让Δx变得过小），就得确保位置测量足够模糊。当然，模糊本身是一个模糊的术语，所以我们来把它变得不那么模糊。如果使用能以1微米准度探测粒子的粒子探测器，而波包的宽度是1纳米，则探测器对粒子的影响不会太大。读数的实验者对探测器1微米的分辨率可能感到很满意，但从电子的视角来看，探测器不过是汇报给实验者，粒子在某个巨大的盒子里，大小是实际波包的1000倍。在这种情况下，测量过程引入的海森伯之踢，和波包本身有限的大小相比很小。这就是我们说“足够模糊”的意思。
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图5.3：两个不同时刻的同一个波包。随着时间前行，波包向右运动并展宽。波包是运动的，因为组成波包的钟彼此之间有相对旋转（德布罗意关系）；由于不确定性原理，它也是扩散的。波包的形状不很重要，但是为完整起见，我们应该说，波包大的地方钟也更大，而波包小的地方钟也小。
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我们在图5.3中绘出了上述情形，并标出了波包的初始宽度d以及探测器的分辨率Δ。我们还画出了稍后时刻的波包；它要稍微宽一点，宽度是d’，比d大。波包的峰在一定时间间隔t内以速度v运动了一段距离L。笔者提前道个歉，如果这些龙飞凤舞的特定套路，勾起了你记忆深处的校园岁月：坐在污渍斑驳的木桌后面，随着科学老师的声音渐渐消失在暮冬午后的暗淡天光中，你也陷入了不合时宜的午睡。我们搞得满身粉笔灰，是有原因的。希望本节的结论，比起年轻时飞来的板擦，能更有效地使你激灵起来。
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我们振作精神，重回假想的科学实验室，尝试通过在两个不同时刻测量波包的位置，来测量其速度v。这会给出波包在时间t内运动的距离L。但我们的探测器的分辨率为Δ，因此我们无法完全确定L。用符号表示，可以说测得的速度为：
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其中组合的加减符号只是提醒我们，如果实际进行这两个位置的测量，一般不会总得到L，而是“L加一点”或者“L减一点”，其中出现“一点”的误差范围是因为我们同意不对粒子位置做非常准确的测量。记住这一点很重要，就是L不是我们可以实际测量的东西：我们总是在L±∆的范围内测得一个值。要记住，∆需要远大于波包的大小，否则我们就会挤压粒子并扰乱它。
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我们来把上一个式子稍微改写一下，这样就能更好地看清是怎么一回事：
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看起来，如果t非常大，我们就会得到扩散非常小的速度测量值v=L/t。这是因为我们可以选择等待很长的时间，使得t任意大，从而在保持∆足够大的同时，让∆/t任意小。我们看似有了好方法，能以任意精度测量粒子的位置，而根本不干扰它；只要在第一次和第二次测量之间等待极长的时间即可。这很直观。想象你在测量一辆公路汽车的速度。如果测量的是它在一分钟内行驶的距离，测得的速度往往比测量其在一秒内行驶的距离要精确得多。我们是不是避开了海森伯的脚？
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当然没有——我们忘了考虑某些东西。粒子由波包组成，波包随时间扩散。在足够长的时间之后，扩散效应将完全冲尽波包，这意味着粒子可以在任何地方。这将扩大L的测量值范围，破坏我们对其速度进行任意精度测量的能力。
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对于由波包描述的粒子，我们最终仍然受不确定性原理的约束。因为粒子起初被禁闭在一个大小为d的区域内，海森伯告诉我们，粒子的动量也变得模糊，范围是h/d。
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因此，我们只有一种方法可以表示具有确定动量的运动粒子，建立一种波包大小d非常大的钟的构型。它愈大，粒子动量的不确定性愈小。信息很清楚：一个动量非常确定的粒子由一个大钟群描述[113]。精确地说，一个动量完全确定的粒子得由一列无穷长的钟群来描述，也就是一个无限长的波包。
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我们刚刚论证过，一个有限大小的波包并不对应一个动量确定的粒子。这意味着，如果测量很多粒子的动量，即使它们都由完全相同的初始波包描述，我们也不会每次都得到相同的结果。相反，我们会得到一些散布的结果。并且不管我们在实验物理学上有多高明，散布的范围不可能小于h/d。
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因此我们可以说，波包描述了一个运动粒子，其动量在一定范围内。但德布罗意关系意味着，我们可以用“波长”一词来代替最后一句中的“动量”，因为粒子的动量和一列确定波长的波有关。这又意味着，一个波包必须由许多不同波长的波组成。同样，如果一个粒子由一列波长确定的波描述，则这列波一定是无限长的。听起来，我们是在被推向这样一个结论，一个小波包是由很多波长不同且无限长的波组成。我们确实被推到了这条路上，而我们所描述的东西，对于数学和物理学者以及工程师等都非常熟悉。这是一个被称为傅里叶分析的数学领域，以法国数学家约瑟夫·傅里叶[114]（Joseph Fourier）的名字命名。
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傅里叶是个多彩的人。他有许多显著的功绩，包括担任拿破仑[115]（Napoléon Bonaparte）的下埃及总督，以及温室效应（greenhouse effect）的首个发现者。显然他喜欢把自己裹在毯子里，这甚至导致了他的死亡，1830年的一天，他把自己紧紧裹住，从自己家的楼梯上摔了下来。他关于傅里叶分析的重要论文涉及了固体中的热传导问题，发表于1807年，尽管其基本思想可追溯到更早的时候。
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傅里叶证明，任何波，无论它的形状和范围有多复杂，都可以由不同波长的一些正弦波相加合成。这一点用图片能最好地说明。图5.4中的短虚线是由下方图中的前两列正弦波相加而成的。你几乎可以在大脑中把它们加起来：两列波在中心处同时达到极大，所以在那里相加变大；而在末端它们倾向于抵消。长虚线是我们将下方途中的四列波相加的结果——现在中心的峰值变得更加明显。最后，实线是我们把前十列波加起来的情形，也就是画出来的四列波，加上六列波长逐渐减小的波。加入的波愈多，最终的波的细节就愈多。上方图中的波包可以描述一个局域粒子，很像是图5.3中的波包。这样一来，我们真的可以合成任何形状的波——这都是通过将简单的正弦波相加来实现的。
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图5.4：上图：将几列正弦波加起来，以合成一个尖锐成峰的波包。短虚线包含的正弦波的数量，比长虚线所包含的少；而后者又比实线所包含的少。下图：用于组成上图中波包的前四列正弦波。