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历史就有这么巧合，开普勒于1600年1月1日启程前往布拉格。这个新世纪的开始也标志着一项再造宇宙的新的合作的开始。第谷与开普勒的合作可谓珠联璧合。科学进步既需要观察也需要理论。第谷已经积累了天文学史上最优质的观测结果，而开普勒将被证明是对这些观测资料最出色的解释者。虽然开普勒患有近视和先天性散光的毛病，但历史最终将表明，他比第谷看得远。
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这种伙伴关系的结成还有机缘凑巧的因素。在开普勒到来几个月后的一天，第谷参加了由罗森伯格男爵主持的晚宴。他喝得多了点，但又不好意思破了礼仪在宴会结束前离开。开普勒是这么记述的：“在他喝多了之后，他觉得膀胱涨得厉害，但他把礼节看得比健康重要。当他回到家后，他几乎无法小便。”那天晚上他发了高烧，随后就一直处于昏迷和谵妄的交替发作状态，10天后便去世了。
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在弥留之际，第谷反复说着这样一句话：“但愿我没有白活。”其实他没有必要担心，因为开普勒会确保第谷的细致观察记录结出硕果。事实上，很可能第谷的去世要比他活着更有利于他的工作的蓬勃发展，因为他活着时对笔记本的守护可小心了，从不让人分享他的观察记录，总是梦想着有朝一日独自出版这份杰作。第谷肯定从来没有考虑过要以一个平等的伙伴关系来对待开普勒——毕竟，他是丹麦的贵族，而开普勒只是单纯的农民。然而，要想看清自己的观察记录所包含的更深层次的意义，这无疑超出了第谷的能力，它要求具备训练有素的数学家的眼光，而开普勒正是这样的人。
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开普勒出生于底层家庭，从小就挣扎在战争和宗教纷争造成的动荡之中。父亲因为任性成了罪犯，母亲因为魔咒被流放他乡。毫不奇怪，他是在缺少自尊极度抑郁的环境中长大的。在他以第三人称的口吻为自己写的自嘲的星象卦辞中，他形容自己是一只小狗：
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他喜欢啃骨头和面包的干痂皮，而且是如此贪婪，无论什么东西，只要被他看见，上去就是一通劫掠；然而也像狗一样，他喝得很少，满足于简单的食物……他不断地寻求别人的好感，一切都仰仗他人，投他人所好，当他们痛斥他时他从不生气，反而急着要博取他们的青睐……他像狗一样，对浴缸、酊剂和乳液感到恐怖。他的无畏让他不知有终，这无疑是由于火星与水星正交并与月亮构成三角。
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他对天文学的热情似乎成为他摆脱自我厌恶的唯一的喘息机会。在25岁时，他写了《宇宙的奥秘》一书，这是捍卫哥白尼的《天球运行论》的第一本著作。此后，他坚信日心说是准确的，并投身到找出是什么造成它不准确的原因的工作中。日心说预言得最不准的当属火星的确切轨道，这个问题曾让哥白尼的助手雷蒂库斯困扰了很久。根据开普勒的描述，雷蒂库斯因为未能解决火星轨道的问题一直很沮丧，以至于“他最后不得不求助于他的守护天使的神谕。这个粗俗无礼的神灵随之抓住雷蒂库斯的头发不断地将他的头撞到天花板上，然后让他的身体倒悬过来坠落到地板上。”
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最后终于拿到了第谷的观察记录后，开普勒起初认为他只要8天时间就能解决火星问题，去除日心说的不准确之处。但事实上，他花了8年时间。而值得强调的正是开普勒为完善日心说花去的这8年时间，因为接下来的简短的归纳很容易淡化他的这一巨大成就。开普勒通过艰难曲折的计算最终得到了正确的解，这些计算用了九百页对开的纸张。
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开普勒取得重要突破的法宝是他抛弃了一项古老的信条，即行星的所有运动轨道是圆形或圆形的组合。甚至连哥白尼都曾忠实地坚守着这个圆形的教条。而开普勒指出，这正是哥白尼的一条有缺陷的假设。事实上，开普勒认为他的这位前辈错误地假设了以下三点：
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1.行星按完美的圆形轨道运动；
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2.行星以恒定的速度运动；
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3.太阳处于这些轨道的中心。
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虽然哥白尼在指出行星是围绕太阳而不是地球转这一点上是正确的，但他对这三条错误的假设的信念使他根本没希望能够准确预言火星和其他行星的运动。而开普勒之所以能够在哥白尼的失败之处取得成功，正是因为他放弃了这些假设。他相信，只有当所有的意识形态、偏见和教条被抛在一边，真理才能够浮现。他不但睁眼看，更是敞开了心灵，他将第谷的观察记录作为自己的垫脚石，在第谷的数据基础上建立起自己的模型。渐渐地，无偏的宇宙模式开始显现。果然，开普勒的新的轨道公式与观测数据匹配得十分完美，太阳系终于成型。开普勒揭示了哥白尼的错误，并表明：
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1.行星沿椭圆轨道，而不是完美的圆形轨道运动；
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2.行星的速度是不断变化的；
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3.太阳不是处在这些轨道的中心。
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当他意识到他得到了行星轨道奥秘的解决办法之后，开普勒不禁失声大叫：“噢，万能的上帝，我想到了你的想法。”
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事实上，在开普勒新的太阳系模型里，第二点和第三点是由第一点，即行星轨道是椭圆形的，推导出来的。为此我们先简要叙述一下椭圆轨道是怎么形成以及为什么会这样。绘制椭圆的一种方法是先在画板上固定两点定一弦长，如图13所示。用铅笔拉紧一根线使线到两定点的距离之和为定长，然后铅笔一边保持线处于张紧状态，一边在画板上移动，由此描绘出一个半椭圆形。切换到弦的另一侧，并使铅笔在移动时仍保持线的张紧状态，即可绘出另一半椭圆。弦长恒定，两定点固定，所以椭圆的一种可能的定义是一动点到两定点的距离之和为常数的点的集合。
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图13 一种绘制椭圆的简单方法是用一根两端固定在两个定点上的线，如图（a）所示。如果两定点间距离为8厘米，那么线长可取10厘米，画板上所有到这两定点的距离之和等于10厘米的点的集合即构成一个椭圆。例如，在图（b）中，10厘米的线构成一个三角形的两边，每边长5厘米。从勾股定理知，从椭圆的中心到顶端的距离必为3厘米。这意味着，椭圆的总高度（或短轴）为6厘米。在图（c）中，10厘米长的线被拉到一侧。这表明，椭圆的总宽度（或长轴）为10厘米，因为两定点间8厘米加上每个定点到各自顶端的1厘米正好是10厘米。
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图中的椭圆较扁，因为短轴为6厘米而长轴为10厘米。如果两个定点靠得更近一些，椭圆的长轴和短轴之间的差距就将减小，椭圆将变得不是很扁。如果两个定点合并成一个点，则这根线便成为5厘米长的恒定半径，所得的形状将是一个圆。
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定点的位置称为椭圆的焦点。行星走过的是这样的椭圆路径：太阳坐落在其中一个焦点上，而不是处在行星轨道的中心。因此有很多时候行星会比其他时刻更接近太阳，就像是行星要落向太阳似的。这种落向太阳的过程导致行星运动加快，反之，行星在远离太阳时会减慢。
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图14 这个图显示了一个非常夸张的行星轨道。椭圆的高度大约是其宽度的75%，而太阳系里的大多数行星轨道的这一比值通常在99%和100%之间。类似地，太阳位于偏离中心很远的一个焦点上，而实际行星轨道的焦点仅稍微偏离中心一点。这个图展示了开普勒的第二条行星运动定律。他解释说，太阳与行星之间的一条假想直线（矢径）在相同的时间内扫过相同的面积，这是行星在接近太阳时其速度增大的结果。图中的三个阴影部分具有相等的面积。当行星接近太阳时，其径矢较短，但这时它有更大的速度来补偿，这意味着在固定的时间里它沿椭圆周长走过较长的距离。当行星远离太阳时，其径矢要长得多，但它的速度较慢，因此在同一时间里走过的周长较短。
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开普勒表明，由于行星绕日运行遵循的是一条椭圆路径，有时快有时慢，对此我们不妨假想在行星与太阳之间拉一条线，开普勒断定，在相同的时间里行星拉着的线所扫过的面积相同。这句有点抽象的陈述可以用图14来表示，这一判断很重要，因为它精确给出了行星在作轨道运动的过程中速度的变化。相反，哥白尼信仰的是行星的速度是不变的。