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关于微积分,我没有更多的东西要给你们讲了。其余的该由你们自己来做了:你们必须练习微分和积分——当然,不要碰到代数就害怕,就像在(1.7)式中。要用这种单调乏味的方法练习代数和微积分——这是首要的事情。
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1-6 矢量
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我们要专门讨论的、作为纯粹数学学科的另一个数学分支是矢量。你们首先必须知道什么是矢量,如果你们对它还没有建立一点概念,我就不知该怎么办了:我们不得不来来回回地讲解一会儿,以使我能了解你们的困难之所在——否则我就无法做解释。一个矢量,譬如像推力,具有一定的方向,或者像速度 具有确定的方向,或者运动 也有一定的方向——在一张纸上用沿着这个东西的具有方向的箭号来表示它。例如我们用箭号来表示作用于某一物体上的力,箭号指向力的方向,箭号的长度是以某规定尺度的力的大小量度——不过所用尺度必须对这同一题目中的所有力始终相同。如果你施加另一个两倍 强度的力,你就用两倍长的箭号来表示该力(见图1-1)。
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图1-1 用箭头表示两个矢量
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现在,用这些矢量可以进行运算了。就是说,假设有两个力同时作用在一个物体上——譬如说,两个人一同推动一个物体——这样,两个力可以用两个箭号F 和F ′表示。我们在画类似于这样的图解的时候,将箭号的尾部放在力作用的地方常常是最方便的,虽然一般地说矢量的位置没有什么意义(见图1-2)。
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图1-2 作用在同一点的两个力的示意图
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如果我们要知道合力,或力的总和,就相当于把矢量加起来,我们可以通过把一个矢量的尾部移动到另一个矢量的头部作图。(在你移动它们以后,它们仍旧是同样的一些矢量,因为它们的方向和长度都保持原样。)F +F ′是从F 的尾部到F ′的头部的直线(或从F ′的尾部到F 的头部),如图1-3所示。这种求矢量和的方法有时叫做“平行四边形法则”。
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图1-3 用“平行四边形方法”求矢量和
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另一方面,假设有两个力作用在一个物体上,但我们只知道其中的一个是F ′;另一个我们不知道的力我们称作X。 如果作用在物体上的合力F 是已知的,我们有F ′+X =F。 从而X =F -F ′。要求出X 你们就必须求两个矢量的差,你们可以用两种方法中随便哪一种来求:可以取-F ′,它是和F ′方向相反的矢量,将它和F 相加(见图1-4)。
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图1-4 矢量差的第一种方法
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另一种方法,F -F ′简单地就是从F ′的头部到F 的头部画的矢量。
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好了,第二种方法的缺点是,你们可能倾向于画图1-5中的箭号,虽然方向和长度都正确,施力点不 是在箭号的尾部——千万要注意。你对这种方法不太有把握,或者有些疑问,还是用第一种方法(见图1-6)。
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图1-5 矢量差的第二种方法
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图1-6 作用在同一点上二力之差
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我们也可以把矢量投影到一定的方向。例如,我们如果要知道在“x ”方向的力(称为力在这个方向的分量 ),这很容易:我们只要将F 垂直投影到x 轴上,这就是力在这个方向上的分量,把它称作Fx 。数学上Fx 是F 的数值 (我们写成|F |)乘以F 和x 轴之间夹角的余弦;这来自直角三角形的性质(见图1-7):
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