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图1-7 矢量F在x方向的分量
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其次，如A 和B 相加得C， 那么将它们到给定的“x ”方向的垂直投影显然也相加。所以，矢量和的分量就是矢量分量的和，这对任何方向 都是正确的（见图1-8）。
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图1-8 矢量和的分量等于相应的矢量分量的和
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特别方便的是用它们在相互垂直的轴x 和y 上的分量来表示矢量（以及z 轴——世界是三维的；我一直把这点忽略，因为我总是在黑板上作图！）。假设有一个矢量F 在x -y 平面上，并且我们知道它在x 方向的分量，这还不能完全定义F ，因为在x -y 平面上有许多矢量在x 方向都有同样的分量。但如果我们还知道F 在y 方向的分量，那么F 就完全确定了（见图1-9）。
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图1-9 在x-y平面上的矢量由两个分量完全确定
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F 沿x ，y 和z 的分量可以写成Fx ，Fy 和Fz ；矢量的求和等价于将它们的分量求和，如另一矢量F ′的分量为 和 ，那么F +F ′具有分量 ， 以及 。
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上面是较简单的部分，现在要稍微难一些了。有一个两个矢量相乘得到一个标量 的方法——标量是一个在任何坐标系中都相等的一个量。（事实上，有一个从一个矢量得到标量的方法，我以后将会回到这个主题上来。）你看，如果坐标轴改变了，分量也随着改变——但矢量之间的夹角和它们的大小保持不变。设A 和B 是两个矢量，它们的夹角是θ 。我取A 的数值乘以B 的数值再乘以θ 的余弦，把这个数写成A ·B （“A 点乘B ”）（见图1-10）。这个数称为“点积”或“标积”，它在所有坐标系中都是相等的：
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图1-10 矢量的点积|A||B|cosθ在所有坐标系中都相等
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显而易见，因为|A |cosθ 是A 在B 上的投影，A ·B 等于A 在B 上的投影乘以B 的数值。同理，|B |cosθ 是B 在A 上的投影，A ·B 也就等于B 在A 上的投影乘以A 的数值。然而，我发现，A ·B= |A ||B |cosθ 是最容易记住点积是什么的方法；这样我总是能立即知道其他的关系。当然，真正的麻烦在于，你有这么多的方法来表示同一事物，但你用不着试图把它们全都记在心里——这一点我随后将说得更完全些。
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我们也可以用A 和B 在任意一组坐标轴上的分量来定义A ·B 。如果我们取三个相互垂直的坐标轴，x ，y ，z ，它们的方向任意。于是A ·B 就是：
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怎样从|A ||B |cosθ 变为AxBx +AyBy +AzBz ，这并不是一眼就可以看出来的。虽然，当我想要做的时候我可以证明它[3] ，这要花很多时间，所以我要记住这两个公式。
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