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一个有效的描述可以对以小尺度理论再现大尺度观测的结果进行总结，然而小尺度的效应实在是太过微小而无法被观察到。这样做的好处在于，我们可以使用尽量少的参数学习、评估这些物理过程。如果不这么做，我们就会被迫考虑过多的细节。这个更小的参数集合对描述我们感兴趣的物理过程而言十分有效。此外，我们使用的这个参数集合是“普适的”——描述它们并不依赖于蕴含在这些物理过程之下更加细微的细节。为了获得它们的具体数值，我们仅仅需要在那些它们被应用的物理过程中去测量它们。
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单一的有效理论可以应用于范围宽广的尺度和能标上。当那些为数不多的参数都已经被测定之后，在那个尺度上的任何结论我们都可以通过计算导出。它给出了一个若干规则和元素的集合，可以解释大量的观测现象。任何时候我们认为是基础理论的理论，都有可能转变为有效理论——不存在无限精确的分辨率，探索永无止境。然而我们必须相信那些有效理论，因为它们在其所应用的能标和尺度范围内，可以成功地预言一系列现象 。
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物理学中的有效理论不仅保留了小尺度上的有效信息，还可以总结出大尺度上的效应，而其结果也许太过微小而不能被观察到。比如，爱因斯坦在发展他的引力理论时提出，我们所处的这个宇宙有可能是轻微“弯曲”着的。在大尺度上的这种弯曲涉及大尺度的空间结构。然而，这些微小的弯曲效应并不影响我们在较小尺度上进行的局域性观测和实验。只有当我们把引力纳入粒子物理学的框架中时，才需要考虑这些效应的影响，而这些影响对于许多我后文要讲的事情而言，都可以忽略不计。在这种情况下，适当的有效理论让我们得以在缺失一些需要实验测定的参数的情况下，依旧可以总结出引力的效应。
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有效理论最重要的方面是，它在描述我们可以看到的尺度的同时，也把那些我们忽略掉的尺度（无论大小）做了归类。应用有效理论，我们可以在任何特定的测量中确定动力学的效应（无论已知或未知）有多显著。即使没有那些在不同尺度上的新发现，我们也可以通过数学计算来确定在我们所关心的尺度上，那些新结构对有效理论的最大影响。正如第12章所讲，只有当那些底层的物理学现象被揭示出来时，大家才会真正理解有效理论的局限性之所在。
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关于有效理论的一个为人所熟知的例子是热力学，它在原子理论与量子理论出现之前就成功地解释了冰箱或引擎是如何工作的。压强、温度和体积这三个参数完美地描述了一个热力学系统的运行状态。即便我们知道这个系统又包含着由原子和分子组成的气体，而这比前面的三个要素所能描述的结构要复杂许多。然而，为了一些特定目的，我们依然集中关注这三个参数，这样可以便捷地描述这个系统的可观测行为。
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温度、压强和体积都是可以被测量的实在量。它们之间的关系背后所依附的理论已经发展得相当成熟，并且可以用以作出成功的预测。气体的有效理论并未提及底层的分子结构（见图1-4）。底层的分子元素决定了温度和压强，但不了解原子或分子并不妨碍科学家们放心地使用这些量进行计算。
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图1-4 压强和温度可以在更基础的等级上加以理解，这与单个分子的物理性质相关。
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一旦理解了基础理论，我们就可以把温度和压强归为底层原子的性质，以及可以理解在什么情况下热力学的描述会失效。但在很多情形下，我们依旧可以使用热力学来做预测。实际上，很多现象仅仅从热力学的角度来考虑，是因为我们没有足够的计算能力和存储能力，即使知道它们的存在，我们也无法追寻每一个原子的运动轨迹。有效理论是唯一的方法，它有助于理解一些有关固体或液体的凝聚态物质（condensed matter）的重要物理现象。
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这个例子揭示了有效理论的另外一些重要方面。我们有时把“基础”（fundamental）当作一个相对术语。从热力学的角度来看，原子和分子的描述都是基础性的。但从粒子物理学的角度来看，它描述了原子中夸克与电子的细节，原子是组合物，由更小的元素组成。从粒子物理学的角度来看，它就是一个有效理论。
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这种从已被充分掌握的知识到前沿知识对科学发展进程的彻底描述，在诸如物理学与宇宙学领域中被应用得最好，因为我们对那些功能单元及其联系有着很明晰的理解。有效理论并不一定能在新领域，譬如系统生物学中生效，因为在分子与更大层级上行为之间的联系，以及那些有关的反馈机制还有待人们去了解。
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虽然如此，有效理论的理念依然在很多科学背景中得到了广泛应用。支配生物进化的那些数学方程式并不会因为新的物理结果而变化，我在与数学生物学家马丁·诺瓦克（Martin Nowak）[10] 的一次讨论中如此回答他所提出的问题。他与同事们可以在不使用更加基础描述的前提下塑造那些参数。他们也许最终与更基础的量相关——物理或者其他的量，但这并不会改变那些数学生物学家用以描述种群行为随时间演化的方程式。
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对粒子物理学家来说，有效理论是必要的。我们把简单系统按照尺度分类，然后再把它们彼此联系在一起。事实上，那些尚不明了的底层结构让我们专注于可观测的尺度，并忽略更多基础效应。它们的底层相互作用隐藏得如此好，以至于我们必须付出大量的人力、物力才能把它们搜寻出来。这些可观测尺度上更基础理论效应的微不可查，正是今日物理学家们面临的挑战。如果希望察觉到那些更加基础的物质及其相互作用所产生的效应，那么我们就需要直接探索更小的尺度，或是测量得越发精确。只有通过更高级的技术，我们才能探索那些极小或极大尺度上的事物。这是我们要设计详细实验，以期取得一些进展的原因——正如大型强子对撞机所做的一样。
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光学，有效理论的典范
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光学理论的历史正是一个有效理论在科学发展进程中应用的典范。在这个过程中，某些观念被抛弃，而另一些被保留，并最终作为良好的近似而应用于特定的领域之内。从古希腊人的时代起，人们就开始研究几何光学。这是有志于物理学研究的学生们在物理学GRE（即研究生入学考试）中的必考科目。这个理论假定光沿射线或直线传播，进而描述在穿过不同介质的界面时光线的行为，以及如何使用仪器去检测它们。
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奇怪的是，事实上并没有人，至少在我过去曾就读以及现在所任教的哈佛大学，都没有人学习经典几何光学。也许高中课程中会涉及一点儿几何光学的内容，然而于全部课程而言，其课程量如沧海一粟。
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几何光学是一个过时的学科。它于数百年前因牛顿的《光学》（Opticks ）一书盛极一时，并延续到19世纪的前10年，那时威廉·哈密顿（William Rowan Hamilton）也许是第一个对新现象作出了数学预测。
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今日，经典光学理论依然在摄影、医学、工程学、天文学等领域中应用，它依然作为制造镜子、望远镜以及显微镜的理论依据。研究经典光学的学者和工程师们解决了各种物理现象的不同问题。然而，他们只是简单地应用已有的光学理论，而没有发展新的物理定律。
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2009年，我有幸被邀请在都柏林大学做了一场哈密顿演讲——我很多令人尊敬的同事在我之前都曾受邀，这个演讲以哈密顿的名字命名。哈密顿是19世纪爱尔兰著名的数学家、物理学家。我承认“哈密顿”这个名字在物理学中实在太常见了，以至于我一开始很可笑地没有把这个名字与那个真实的爱尔兰人联系在一起。但是，我对哈密顿为数学与物理学作出的很多卓越贡献都耳熟能详，这其中就包括几何光学。
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庆祝“哈密顿日”确实是一件大事。这天的活动包括沿都柏林的皇家运河而下的游行。游行止于金雀花桥，以观看社团中最年轻的成员在桥上写下一些方程式，这些方程式是当年哈密顿在途经该桥、思考自己的理论时灵光乍现而随手写下的推演。我访问了顿辛克天文台（College Observatory of Dunsink，哈密顿也曾工作、生活于此），并观看了一个300年前的拥有滑轮的木质结构望远镜。哈密顿于1827年从三一学院毕业之后就到那里任职，成为教授、爱尔兰皇家天文学家。当地人如此腹诽：尽管哈密顿有着惊人的数学天赋，而他对天文学毫无兴趣且一无所知。虽然他在理论上贡献卓著，但是他也许把爱尔兰观测天文学的发展进程拖慢了50年。
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虽然如此，人们依旧设立了“哈密顿日”以表达对这位伟大的理论家卓越贡献的敬意。它们包括光学与动力学、四元数（quaternions，一种对复数的推广）的数学理论，还有其他哈密顿对数学和科学敏锐的预测与坚实的推论。四元数的发明是一件大事。它对向量微积分意义重大，是我们研究三维现象所使用数学方法的基础理论；它也在计算机图形学中得到广泛应用，这直接促进了娱乐产业以及电视游戏的兴盛。任何拥有PlayStation或是Xbox的人都应该感谢哈密顿对他们娱乐产品的贡献。
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在哈密顿诸多重大贡献中，最为耀眼的是他对光学理论的发展。1832年哈密顿发现，当光线以特定角度射入到有两条独立轴的晶体上时，将会被折射并形成一个中空的出射光锥。因此他预测了关于光线穿过晶体时的内锥折射与外锥折射（internal and external conical refraction）理论。这是一个重大的，也许还是第一个数学科学的伟大胜利，该预测最终由哈密顿的朋友、同事汉弗莱·劳埃德（Humphrey Lloyd）证实。想要证实一个完全由数学预测、从未见过的现象实乃大事，哈密顿也因这一发现而被封为爵士。
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当我访问都柏林时，当地人骄傲地向我讲述了哈密顿对几何光学基础卓越的数学贡献。伽利略是观察科学与实验的先驱者，而弗兰西斯·培根则是归纳科学的最早一批拥趸之一。他坚信，人们做预测的出发点建立在先前经验的基础上。然而就使用数学描述一个未知现象而言，哈密顿对锥形折射的预测可谓前无古人。出于这个原因，哈密顿在科学发展上的贡献注定名留青史。