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18Le Opere di Galileo Galilei, VIII: 277. Also VIII: 129–130.
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微小的非线性容易被无视。任何做过实验的人很快都会知道，自己生活在一个不完美的世界中。自伽利略和牛顿以降的数百年来，在实验中找寻规则性一直是实验科学家的基本工作。他们渴望找到那些保持不变的量，或者那些值为零的量。但这也意味着无视那些会扰乱一个简明图景的细枝末节。如果一位化学工程师发现两种物质的比率始终变化不大，前天是 2.001，昨天是 2.003，今天是 1.998，这时恐怕只有傻子才会不去寻找一个能解释正好二比一比率的理论。
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为了得到他的简明结论，伽利略也有意忽视了那些他明知存在的非线性因素：摩擦力和空气阻力。空气阻力是一个臭名昭著的实验麻烦鬼，一个为了直抵力学新科学的实质而必须被剔除的复杂化因素。羽毛的下落速度与石头的一样快吗？所有有关自由落体的日常经验告诉我们答案是否定的。伽利略在比萨斜塔上扔下一轻一重两个球的故事，作为一个迷思，实际上说的是，如何发明一个理想化的科学世界（在其中，规则性可从日常经验的纷繁复杂中被分离出来）来改变我们的直觉。
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将重力对一个给定质量的物体的效应与空气阻力对其的效应分解开来，是一个杰出的智力成就。这让伽利略得以触及惯性和动量的核心。尽管如此，在现实世界中，单摆最终还是会像亚里士多德的陈旧范式所预测的那样，它们会停下。
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在为下一次范式转换做铺垫的过程中，物理学家开始直面许多人相信自己在像单摆这样的简单系统方面所受教育中的一种不足。进入 20 世纪，像摩擦力这样的耗散过程被纳入考量，学生们开始学习将它们纳入方程。学生们还学到，非线性系统通常是无解的（这点不假），并且它们大多是例外情况——这点则不对。经典力学描述了全部运动物体、单摆和双摆、弹簧和弯曲棒、指拨的弦和弓拉的弦等的行为。其数学还适用于流体系统和电子系统。但在经典力学时期，几乎没有人想到混沌的可能性，没有人想到如果非线性被赋予其应有的地位，在动力系统中可能会出现一种新的行为。
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一位物理学家无法真正理解湍流或复杂性，除非他首先理解了单摆，并且是以一种不可能在 20 世纪上半叶想到的方式理解它们。随着混沌开始整合不同系统的研究，单摆的动力学被发现也适用于从激光到超导约瑟夫森结的高科技领域。有些化学反应表现出类似单摆的行为，跳动的心脏也是如此。正如一位物理学家所写的，其出人意料的适用可能性还扩展到了“生理和精神医学、经济预测，或许还有社会的演化”。19
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19David Tritton,“Chaos in the Swing of a Pendulum,”New Scientist, 24 July 1986, p. 37. 这篇通俗易懂的非技术性文章很好地介绍了单摆的混沌行为的哲学意涵。
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试考虑操场边的一架秋千。它在下降时加速，在上升时减速，同时由于摩擦力不断失去一点点速度。设想它受到一个周期性外力推动，比如，来自某种规则运作的机器。我们的所有直觉都告诉我们，不论秋千一开始从多高的地方落下，其运动将最终进入一种规则的来回摆动模式，并且每次都荡到同样的高度。这有可能发生。20 然而，尽管可能看上去不可思议，其运动也可能变得不规则，一下高，一下低，永远不会进入一个稳定的定态，也永远不会完全重复之前的一个摆动模式。21
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20在实践中，推秋千的人总是能够应用他自己的一种无意识的非线性反馈机制，制造出多多少少规则的运动。
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21对于单摆受迫振动的可能变化，一个很好的总结是：D. D’Humieres, M.R. Beasley, B.A. Huberman, and A. Libchaber,“Chaotic States and Routes to Chaos in the Forced Pendulum,” Physical Review A 26 (1982), pp. 3483–3496.
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这种出人意料的、不规则的行为来自流入流出这个简单振子的能量流中的一种非线性因素。秋千是有阻尼振动，也是受迫振动：有阻尼，因为摩擦力试图使它静止下来；受迫，因为它受到一个周期性外力推动。即便当一个有阻尼受迫系统处于均衡状态时，它也能表现出复杂的行为，而我们的世界充满了这样的系统。首先一个系统就是天气，它一方面由于运动的空气和水的摩擦力以及热量向外太空的耗散而趋于停滞，另一方面则受到太阳能量的持续推动。
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但不可预测性并不是物理学家和数学家在 20 世纪六七十年代再次开始严肃看待单摆的原因。不可预测性只是一开始吸引他们注意的地方。这些研究混沌动力学的学者进而发现，简单系统的无序行为也是一个创造性的过程。它生成了复杂性：一些复杂的模式，它们有时稳定，而有时不稳定，有时有限，而有时无限，但总是有着一种仿佛具有生命一般的吸引力。这也是为什么科学家开始钻研玩具。
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其中一种玩具是“太空球”22 或“太空秋千”，两个空心球连在一根短棒的两端，短棒的中心架在一个单摆的一端，单摆摆杆的中心则架在支架上，另一端接着第三个更重的球。底下的第三个球来回摆动，顶上的短棒及另两个球则可以自由转动。所有三个球都内装小块磁铁，并且一旦运动起来，整个装置就会不断运动下去，因为在底座内部有一块电池驱动的电磁铁。装置感知到最底下那个球的接近，并在它经过时用磁力为它推上一把。有时候，整个玩具会进入一种稳定的、规则的摆动。但其他时候，其运动看上去始终是混乱的，总是不断变化，给人无尽的惊喜。
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22迈克尔·贝里研究了这种玩具的物理学，对其建模并进行实验。在《不可预测的摆动–转动球》一文中，他描述了一系列只能通过混沌动力学的语言（“KAM 轨线、周期轨道的分岔、哈密顿混沌、不动点，以及奇怪吸引子”）理解的行为。
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另一种玩具实质上是一种所谓的球面摆——不像单摆只能在一个竖直平面内来回摆动，球面摆可以在一个球面内的各个方向上自由摆动。它的底座上固定着一些小的磁铁。这些磁铁吸引金属摆锤，而当摆停止时，摆锤会被其中一块磁铁所捕获。这里的玩法是，让摆摆动，然后猜哪块磁铁会胜出。即使在只有摆放成三角形的三块磁铁的情况下，摆的运动也是无法预测的。它可能会在磁铁 A 与 B 之间来回摆动一会儿，然后转换到 B 与 C 之间摆动，再然后，就在它看上去将最终停靠到 C 上时，又跳回到 A。设想一位科学家通过以下方式作图来系统地探索这种玩具的行为：选取一个起始点；将摆锤拉到那个位置，然后放手；根据摆锤最后停靠到哪块磁铁上，将那个点相应标为红色、蓝色或绿色。这幅图最终看上去会是什么样子的？正如我们可能预期的，它会有一些实心的红色、蓝色或绿色区域——从某个区域内出发，摆锤将稳妥地停靠到特定一块磁铁上。但它也会有一些区域，其中不同颜色相互交织，呈现出无尽的复杂性。在一个红色的点附近，不论我们如何靠近看，也不论我们将图放大多少倍，总是会有些蓝色和绿色的点。因此，摆锤的命运实际上将是无法预测的。
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传统上，一位动力学研究者会相信，将一个系统的方程组写出来就是理解了这个系统。还有什么比这更好的把握其核心特征的方式吗？对于一具秋千或一件玩具来说，这样的方程组会将单摆的夹角、速度、摩擦力以及所受外力联系在一起。但由于这样的方程组中存在的一点点非线性，研究者会发现自己根本没有办法回答哪怕简单的关于这个系统未来的实际问题。他可以通过计算机模拟，进行一轮轮快速计算来处理这个问题。但模拟会带来它自己的问题：每轮计算中隐含的微小不精确性会快速积累扩大，因为这是一个对初始条件敏感依赖的系统。很快，有用的信号消失不见，剩下的唯有一片噪声。
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但真是这样吗？洛伦茨找到了不可预测性，但他也找到了模式。其他人同样在看上去随机的行为中发现了结构的踪影。单摆的例子可能由于简单而容易被人无视，但那些选择不去无视它的人从中找到了一条富有启迪性的讯息。他们意识到，在某种意义上，原有的物理学很好地理解了单摆运动的基本机制，但它无法将这种理解扩展到长期的情况。微观图景非常清晰，但宏观行为仍是个谜。从局域看待系统（分离出各自的机制，然后将它们加总起来）的传统开始被打破。对于单摆、流体、电路或激光来说，那种基本方程组的知识看上去不再是我们要找的那类正确知识。
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20 世纪 60 年代，其他个体科学家也做出了与洛伦茨类似的发现，比如，一位法国天文学家就研究了一颗恒星绕一个银河中心的非线性运动 23，而一位日本电子工程师则为电路建了模 24。但对于理解全局行为如何可能不同于局域行为，第一批有计划的、有协调的尝试来自数学家。其中之一就是来自加州大学伯克利分校的斯蒂芬·斯梅尔，他之前已经因在高维拓扑学上的研究而享有盛誉。一位年轻物理学家 25 曾在闲聊时问斯梅尔当时在研究什么，结果后者的回答把他惊呆了：“振子。”这简直荒唐。振子（单摆、弹簧或电路）是一位物理学家在其训练的早期就早早弄懂的一类问题。毕竟它们很简单。为什么一位杰出的数学家会在研究这么基础的物理学？直到多年以后，这位年轻人才意识到，斯梅尔当时是在研究非线性振子，也就是那种混沌振子，并看出了物理学家已经学会不去看的东西。
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23埃农。
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24上田睆亮。
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25福克斯。
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斯梅尔当时做了一个错误的猜想。26 以最为严格的数学语言，他猜想说，差不多所有动力系统，在大多数时候，最终都将趋向不是太过奇怪的行为。但正如他很快就会了解到的，事情并没有这么简单。
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26斯梅尔，约克，古肯海默，亚伯拉罕，梅，费根鲍姆；对于斯梅尔在这个时期的思考的一个有点琐记性质的简短描述是：“On How I Got Started in Dynamical Systems,”in Steve Smale, The Mathematics of Time: Essays on Dynamical Systems, Economic Processes, and Related Topics (New York: Springer - Verlag, 1980), pp. 147–151.
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斯梅尔是一位不仅解决问题，也揭示问题供其他人解决的数学家。他对于历史的理解以及对于自然的直觉使得他能够独具慧眼，见人所未见，因而他转向了哪个新领域，就是在无言地宣告这个未被尝试的研究领域现在值得数学家花费时间。就像一个成功的商人，他评估风险，冷静地计划自己的策略，并且他具有一种花衣吹笛手的特质。斯梅尔转向哪里，许多人就跟到哪里。不过，他的声望不只局限于数学领域。在 20 世纪 50 年代，他和杰里·鲁宾一道组织了“国际抗议美国军事干预日”，并发起了试图拦阻军队运输火车通过加利福尼亚州的抗议。1966 年，当美国众议院非美活动调查委员会发出传唤，要求他到场作证时，他正在欧洲，准备前往莫斯科参加国际数学家大会。在莫斯科，他获得了数学领域的最高荣誉——菲尔茨奖。
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那年夏天发生在莫斯科的一幕后来成为斯梅尔传奇中不可磨灭的一部分。27 五千位政治立场各异的数学家齐聚一堂。一时间场内外气氛紧张，各种请愿书在众人间流传。在大会接近尾声时，斯梅尔接受了一位记者的请求，在莫斯科大学的大台阶上举办了一场记者会。他的一番言论给他惹了一点儿麻烦，话音刚落即被带走接受问话。而当他返回加利福尼亚州后，美国国家科学基金会也取消了对他的资助。28
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