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27Raymond H. Anderson,“Moscow Silences a Critical American,”The New York Times, 27 August 1966, p. 1; Smale,“On the Steps of Moscow University,”The Mathematical Intelligencer 6:2, pp. 21–27.
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28斯梅尔。
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斯梅尔所获的菲尔茨奖是表彰他在拓扑学领域所做出的一项重要贡献。拓扑学这一数学分支兴盛于 20 世纪，并在 50 年代一度如日中天；它研究的是那些不因形变（比如，拉伸、压缩和弯曲）而变化的性质。在拓扑学中，一个形状是方是圆，是大是小，都无关紧要，因为拉伸和压缩能改变这些性质。拓扑学家感兴趣的是，一个形状是否是连通的，是否有孔洞，是否是打结的。并且，他们不只研究一维、二维或三维欧几里得空间中的曲面，也研究更高维度的、无法可视化的空间中的曲面。拓扑学是橡胶垫上的几何学。它关心的是定性关系而非定量关系。它问的是，如果你没有测量可供参考，你又能对整体结构做出哪些判断。斯梅尔证明了在五维或更高维度下的庞加莱猜想，从而将解决这个拓扑学的历史难题往前推进了一大步，也奠定了自己在该领域的显要地位。不过，在 20 世纪 60 年代，他离开拓扑学，转向了一个未被尝试的领域。他开始研究动力系统。
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拓扑学和动力系统，这两个课题都可追溯至亨利·庞加莱，而他将这两者视为一枚硬币的两面。身处世纪之交，庞加莱是最后一位将某种几何想象力应用于物理世界的运动定律的大数学家。他也是第一位理解混沌的可能性的数学家，其工作揭示出了一类几乎与洛伦茨所发现的同样严重的不可预测性。但在庞加莱去世后，不像拓扑学日渐枝繁叶茂，动力系统变得湮没无闻。甚至这个名字都变得无人使用，斯梅尔所转向的领域当时就被称为微分方程。微分方程描述了系统随时间连续变化的方式。传统的做法是从局域看待这些事情，也就是说，工程师或物理学家一次考虑一组可能性。但就像庞加莱一样，斯梅尔想要从全局上理解它们，也就是说，他想要一次理解全部可能性。
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任何一组描述了一个动力系统（比如，洛伦茨的系统）的方程，都允许在一开始对特定参数进行设置。比如在热对流的例子中，这样一个参数涉及流体的黏度。对于这些参数的大的调整可能会导致一个系统出现大的差异——像进入一个定态与出现周期性振荡这样的差异。但物理学家长久以来都假设，非常小的调整只会造成非常小的数值上的差异，而不会是行为上的质变。
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能将拓扑学与动力系统关联起来的是这样一种可能性，即有可能利用一个形状来将一个系统的全体行为可视化。对于一个简单系统，这样的形状可能是某种曲面；对于一个复杂系统，它可能是一个多维流形。这样一个曲面上的一个点代表该系统在某个时刻的状态。而随着该系统随时间发展变化，这个点在曲面上不断移动，形成一条轨线。将这个形状稍作变形便对应于改变该系统的参数，比如，使一种流体的黏度变大或略微更用力地驱动一只单摆。看上去大体相同的两个形状则给出了大体相同的两种行为。因此，如果你能把这个形状可视化，那么你也就能理解该系统。
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当斯梅尔转向研究动力系统时，当时的拓扑学研究就像大多数纯数学，是明确鄙弃其现实应用的。拓扑学的起源曾经与物理学有着紧密的关系，但对于数学家来说，其曾经的物理学起源早已被遗忘，这时是为了形状而研究形状。斯梅尔完全相信这套理念（他是纯数学家中纯之又纯的），但他也认为，拓扑学这些抽象的、深奥的发展现在有可能为物理学提供某种洞见，就像当初庞加莱在世纪之交时所意图做的。
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事实上，斯梅尔的最早一批贡献之一正是他那个错误的猜想。换成物理学语言，他所猜想的是大致这样一条自然定律：一个系统有可能表现得行为难以捉摸，但这种难以捉摸的行为不可能是稳定的。稳定性（或者“在斯梅尔眼中的稳定性”，正如严谨的数学家有时会加以限定的）是一个关键性质。一个系统中的稳定行为是那种不会因为某个数值稍有改变就消失不见的行为。每个系统本身都存在稳定的和不稳定的行为。一方面，描述一支笔尖朝下、试图立在平面上的铅笔的方程组有一个很好的数学上的解，即让重心位于笔尖的正上方——但你终究无法让一支铅笔笔尖朝下竖直站立，因为这个解是不稳定的。最轻微的扰动都会使该系统偏离这个解。另一方面，碗底的一颗弹珠会停留在那里，因为如果它受到轻微扰动，它就会滚回底部。物理学家一直假设，任何可在现实中日常见到的行为必须要是稳定的，因为在现实的系统中，微小的扰动和不确定性是不可避免的。你永远无法确切地知道各个参数。因此，如果你想要一个既贴近现实，又能在面对小的扰动时表现出稳健性的模型，物理学家推理说，那么你显然想要的是一个稳定的模型。
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坏消息在 1959 年圣诞节不久后通过信件传来，那时斯梅尔正暂住在巴西里约热内卢的一处公寓里，连同他的妻子和两个小孩（其中一个还不满周岁），以及一大堆尿布。他的猜想定义了一类微分方程，它们都是结构上稳定的。而他声称，任何混沌的系统都可通过自己这类系统中的某一个加以任意逼近。但情况并非如此。一位同事来信告知他，许多系统并不像他当初想象的那样行事规矩，并给出了一个反例，一个同时集混沌和稳定性于一身的系统。29 这个系统是稳健的。如果你稍微扰动它，就像任何现实的系统始终会受到噪声扰动那样，这种奇怪之处并不会消失。稳健而又奇怪——斯梅尔半信半疑地开始研究起这封信，但慢慢地，他的怀疑逐渐消散。30
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29这位同事是诺曼·莱文森。多个可追溯至庞加莱的数学发展，在这里汇集到了一起。伯克霍夫的工作是其中之一。在英国，玛丽·露西·卡特赖特和 J. E. 利特尔伍德深入研究了受迫的范德波尔振子。这些数学家都已经意识到在简单系统中出现混沌的可能性，但像大多数专守一方的数学家，斯梅尔先前并不知道他们的工作，直到他收到莱文森的这份来信。
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30Smale;“On How I Got Started.”
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混沌和不稳定性，这两个现在才开始慢慢得到正式定义的概念，并不是一回事。一个混沌的系统可以是稳定的，只要其独特的不规则模式在面对微小的扰动时得以维持。洛伦茨的系统便是一个例子，尽管要在多年之后，斯梅尔才听说洛伦茨。洛伦茨所发现的混沌，虽有其不可预测性，但它一如碗底的弹珠那般稳定。你可以在该系统中添加噪声，轻摇它，轻搅它，或干涉其运动，但随着最终一切尘埃落定，暂时性的偏离像空谷足音那样渐行渐弱，该系统便会回到之前的独特的不规则模式。它在局域上不可预测，但在全局上可预测。所以现实的动力系统是在遵循一套比任何人原来设想的都更为复杂的规则行事。在斯梅尔同事的信中描述的反例是另一个简单系统，它早在上一代人的时候就被发现，只是一直被人遗忘至今。事实上，它是单摆的改头换面：一个振荡电路。它是非线性的，并且它像秋千那样，是有阻尼受迫振荡。
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它其实只是一个电子管，由丹麦电气工程师巴尔塔萨·范德波尔在 20 世纪 20 年代最早加以研究。31 今天的物理学学生可以通过观察示波器屏幕上的波形来研究这样一个振子的行为。范德波尔当时没有示波器可用，所以他不得不通过倾听电话筒里不断变化的音调来监控自己的电路。随着他改变输入的电流，他很高兴地在电路的行为中发现了规则性。其音调会像爬楼梯一样在不同频率之间跳跃，离开一个频率，然后锁定下一个频率。但范德波尔偶尔也注意到了某种奇怪的东西。这时电路的行为听上去是不规则的，而他对此无法给出解释。不过，在当时，他对此并不担忧。“在频率跳到下一个更低的值之前，我经常会从电话筒中听到一种不规则的噪声，”他在给《自然》杂志的通信中写道，“然而，这是一种次要的现象。”32 像许多科学家一样，他得以一窥混沌，却没有适当的语言来理解它。对于当时试图制造电子管的人来说，锁频现象是重要的。但对于后来试图理解复杂性的人来说，真正有趣的行为会是由高低频率之间的拉扯而造成的“不规则的噪声”。
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31范德波尔的工作参见：“Frequency Demultiplication,”Nature 120 (1927), pp. 363–364.
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32Ibid.
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尽管是错误的，斯梅尔的猜想还是将他直接引上了那条理解动力系统复杂性的新道路。在他之前，已经有多位数学家检视了范德波尔振子的种种可能性，而现在，斯梅尔将他们的工作带进了一个新天地。他仅有的示波器屏幕是他的心智，但这是一个受过多年拓扑学训练的心智。斯梅尔将振子的全体可能性的范围视为（按照物理学家的说法）一个相空间。于是该系统在任意时刻的状态可被表示为相空间中的一个点，关于其位置或速度的所有信息都包含在这个点的坐标当中。随着系统发生某种改变，这个点会移动到相空间中的一个新位置。而随着系统连续发生改变，这些点会形成一条轨线。
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对于一个像单摆这样的简单系统，其相空间可能只是一个矩形：在给定时刻，摆动的夹角会决定点的东西向位置，摆动的速度会决定点的南北向位置。对于一个来回规则摆动的单摆，它在相空间中的轨线会是一条闭曲线，随着系统反复经历相同的位置序列而循环往复。
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斯梅尔看的不是具体哪条轨线，他关注的是，随着系统发生改变，比如驱动系统的能量增加，整个相空间的行为会如何变化。他的直觉从系统的物理本质跳到了一类新的几何本质。而他的工具是针对相空间中的形状的各种拓扑变换——像拉伸和压缩之类的变换。有时候，这些变换具有明白的物理学含义。一个系统中的耗散，比如由于摩擦力损耗能量，就意味着相空间中的形状会像一只漏气的气球一样收缩——最终缩小到一个点，这时系统便完全停止了。为了表示范德波尔振子的全部复杂性，他意识到，相空间会不得不经历这些变换的一类新而复杂的组合。他很快把这种将全局行为可视化的思想转化成了一类新的模型。他的创新是一个有着持久生命力的关于混沌的意象，一个后来被称为马蹄的结构。
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©Irving R. Epstein
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在相空间中作图
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传统的时间序列（上）和相空间中的轨线（下）是直观呈现相同的数据、获得对于一个系统的长期行为的图像的两种不同方式。第一个系统（左起）收敛到一个定态——相空间中的一个点。第二个系统周期性重复自己，形成一个环状轨道。第三个系统以一个更为复杂的、如圆舞曲三拍子般的节奏重复自己，一个具有“周期 3”的循环。第四个系统则是混沌的。
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要想制造出一个简单版本的斯梅尔马蹄，你只需取一个矩形，将它纵向拉伸、横向压缩，形成一个长条，然后将它从中间折叠，两端对齐，弯曲成马蹄形。33 然后想象将马蹄摆放到原来矩形的位置上（弯曲部分留在矩形之外），并重复之前同样的变换，反复拉伸、压缩和弯曲。
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33斯梅尔对于此项工作的数学表述参见：“Differentiable Dynamical Systems,”Bulletin of the American Mathematical Society 1967, pp. 747–817 (also in The Mathematics of Time, pp. 1–82).
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这个过程有点儿像太妃糖拉糖机的工作过程，后者用不断旋转的机器臂拉伸冷却的糖浆，将其对折，然后再拉伸、再对折，如此这般，直到太妃糖的表面变得非常长、非常薄，并且极其复杂地交错重叠在一起。34 斯梅尔让他的马蹄经过了各种拓扑变换，而撇开其中的数学不谈，他的马蹄是对于洛伦茨几年前在大气中发现的对初始条件的敏感依赖的一个很好的视觉类比。对于在原始矩形中相邻的两个点，你将无法猜出它们最终会落到何处。它们会由于所有这些折叠和拉伸而被带到相隔任意远的地方。到后来，原本碰巧相邻的两个点将相隔任意远。