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但约克理解。“第一条讯息是，无序无处不在。物理学家和数学家想要发现规则性。他们会说，无序又有何用？但如果人们想要处理无序，他们首先需要了解它，就像一个不了解阀门中的沉积物的汽车技师不是一个好技师。”18 约克相信，科学和非科学家都一样，如果对复杂性没有恰当理解，他们就很容易让自己误入歧途。为什么投资者坚持认为黄金和白银的价格具有周期性？因为周期性是他们能够想象的最复杂的有序行为。当他们看到一个复杂的价格变动模式时，他们会自然而然地去寻找某种隐藏在些许随机噪声背后的周期性。而实验科学家，不论是在物理学、化学中的，还是在生物学中的，也没有什么不同。“在过去，人们已经在数不胜数的场合中见到过混沌行为，”约克说道，“他们做了一个物理实验，而实验表现出异常。然后他们要么试图修正，要么放弃。他们将异常行为解释为由于存在噪声，或者干脆说，由于实验设计得不好。”
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18约克。
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约克认为，洛伦茨和斯梅尔的工作中存在一条物理学家一直没有听进去的讯息。所以他写了一篇论文，投给《美国数学月刊》，这是在他认为自己能够发表的期刊中受众类型最多样的。（作为一名数学家，他发现自己终究难以将思想表达成可为物理学期刊接受的形式；直到多年以后，他偶然发现了一个妙计，那就是与物理学家合作撰写论文。）约克的论文 19 自身有其价值，但到最后，它影响最深远的部分还是其稍显神秘和恶作剧式的标题：《周期 3 蕴涵混沌》。他的同事曾建议他选择一个更平实的说法，但约克还是坚持使用这个词，而它后来慢慢被人们接受，被用来指代一个日益发展的研究决定论式无序的学问。他也跟他的朋友罗伯特·梅，一位生物学家交流过。
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19与他的学生李天岩合作完成：“Period Three Implies Chaos,”American Mathematical Monthly 82 (1975), pp. 985–992.
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事实上，梅是一位半路出家的生物学家。20 他在家乡的悉尼大学取得理论物理学的博士学位，然后前往美国哈佛大学做应用数学方面的博士后工作。1971 年，他利用学术休假的机会前往普林斯顿的高等研究院；在那里，他发现自己“不务正业”，频繁跑到普林斯顿大学，跟那里的生物学家交流。
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20梅。
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即便在今天，生物学家大多并不掌握除微积分之外的太多数学。那些喜欢数学并对此有天赋的人大多会去研究数学或物理学，而不是生命科学。梅是一个例外。一开始，他的兴趣所在是有关稳定性和复杂性的抽象问题，试图通过数学解释是什么使得相互竞争的种群能够共存。但他很快转而开始关注单个种群如何随时间变化这个最简单的生态学问题。那些不可避免非常简化的模型似乎并不像原本看上去的那样简单。等到他干脆加入普林斯顿大学生物系时（他后来成为该校的大学研究委员会主席），他已然在一个版本的逻辑斯谛差分方程上花了很多时间，利用数学分析以及一部原始的手摇计算器对它加以研究。
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事实上，当梅还在悉尼大学时，他曾把这个方程写在走廊的一块黑板上，作为给研究生出的一道题目。它开始让他感到有点儿气恼。“当拉姆达大于聚点时到底会发生什么？”21 也就是说，当一个种群的增长率超过一个临界点时会发生什么？通过赋予这个非线性参数不同的值，梅发现他可以剧烈地改变系统的行为模式。提高这个参数的值意味着提高非线性的程度，而这不仅会引发量变，也会引发质变。它不仅影响到种群达到均衡时的数量，也影响到它是否最终会达到均衡。
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21梅；正是这个看上去无法回答的问题促使他从解析方法转向数值实验，至少是将之作为获得直觉的手段。
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当参数值较小时，梅的简单模型会最终进入一个定态。当参数值较大时，这个定态会一分为二，种群数量最终会在两个不同的值之间持续振荡。当参数值非常大时，这个系统（这同一个系统）就表现得看上去不可预测。这是为什么？在导致这些不同类型的行为之间的临界点上到底发生了什么？梅很久都无法弄明白。（他的研究生也没弄明白。）
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梅对这个最简单的方程的行为进行了一次深入的数值探索。他的研究有点儿类似于斯梅尔的：他在尝试一劳永逸地理解这个简单方程，不是从局域上，而是从全局上。这个方程比斯梅尔所研究的都要简单得多，所以它看上去简直不可思议，它生成秩序和无序的种种可能性竟然没有在很久以前就被穷尽。事实上，梅的研究只是一个开始。他考察了这个参数数百个不同的值，看迭代运算生成的一连串数是否会趋向一个定点，以及最终会趋向哪个定点。他越来越密切关注导致定态与导致振荡之间的临界点。这就好像是他拥有一口自己的鱼塘，并且他可以精确掌控其中鱼群的“消长”。他仍然使用逻辑斯谛方程 x次年 = rx（1 - x），并尽可能缓慢地增大参数 r 的值。如果参数值是 2.7，种群数量最终会达到 0.6296。而随着参数值增大，种群的最终数量也会略微提高，在图上可表示为一条斜线。
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但突然之间，随着参数值超过 3，直线一分为二。梅的假想鱼群拒绝趋向一个单一的点，而是在不同年份交替在两个点之间振荡。从一个较小的初始值开始，种群数量会不断增长，然后上下波动，直到它最终稳定地上下起伏。再把按钮调高一点儿（把参数值增大一点儿），振荡会再次一分为二，生成一连串数，最终趋向四个不同的值，每四年一个循环。22 现在种群数量以一个规则的四年周期上下波动。周期再一次翻倍——上次是从每年到每两年，现在则是到每四年。也再一次地，生成的周期性行为是稳定的，不同的初始值会收敛到同一个四年周期。
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22比如，以参数值为 3.5、初始值为 0.4 为例，他会看到如下一连串数：0.4000, 0.8400, 0.4704, 0.8719,0.3908, 0.8332, 0.4862, 0.8743,0.3846, 0.8284, 0.4976, 0.8750,0.3829, 0.8270, 0.4976, 0.8750,0.3829, 0.8270, 0.5008, 0.8750,0.3828, 0.8269, 0.5009, 0.8750,0.3828, 0.8269, 0.5009, 0.8750,…
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正如洛伦茨在十年前就已经发现的，要想能够理解这些数，同时又保护我们的视力，唯一的办法是作图。梅画了一幅粗略的图，试图用它总结我们对于这样一个系统在不同参数值下不同行为的现有知识。参数的水平表示在横轴上，从左往右递增。种群数量表示在纵轴上。对于每个参数值，根据系统在达到均衡时的最终结果，梅画出相应的点。在左端，参数值较小时，这个结果会是一个点，所以不同的参数值生成了一条往右上倾斜的斜线。当参数值超过第一个临界点时，梅将不得不画出两个点：直线会一分为二，仿佛一个横躺的 Y 字或一把叉子。这样的一分为二对应于一个种群从一年一周期的循环进入两年一周期的循环。
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©James P. Crutchfield / Adolph E. Brotman
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倍周期分岔与混沌
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罗伯特·梅及其他科学家没有使用不同的图来表示在不同生育力下种群数量的行为，而是使用一种“分岔图”来将所有信息整合进一张图里。
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分岔图表明了，一个参数（在这里，是某个野生动物种群的增长率）的变化会如何改变这个简单系统的最终行为。横轴是这个参数的值，纵轴是最终的种群数量。在某个意义上，增大参数值意味着更有力地驱动这个系统，增加其非线性。
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当参数值较小时（左端），种群最终会灭绝。随着参数值增大（中间），种群数量的均衡水平也随之提高。然后，随着参数值进一步增大，均衡一分为二，就像在对流的流体中，进一步加热会引入不稳定性；种群数量开始在两个不同的水平之间交替。这样的分岔变得越来越快。最终系统进入混沌（右端），种群数量可以遍历无穷多个不同的值。
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随着参数值进一步增大，点的数量不断加倍，一而再，再而三。这不免让人惊愕——如此复杂的行为，却又如此迷人而有规则。“暗藏在数学草丛中的蛇”是梅对它的描述。这样的加倍本身是分岔，而每次分岔意味着重复的模式进一步分化。一个原本以两年为期周期性波动的种群现在会在第三年和第四年出现变化，从而进入周期 4。
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这些分岔会越来越快（4, 8, 16, 32,…），然后突然终止。超过一个特定点（“聚点”），周期性便让位于混沌。波动永远不会最终归结到某些值，图中的这部分区域内的所有值都能被遍历到，于是整个区域都被填充满了。要是你长期观察一个由这个最简单的非线性方程支配的动物种群，你会认为这时种群数量的年际变化是完全随机的，就仿佛是被环境噪声搞得一团乱。但就在这样的复杂性当中，稳定的周期又突然重新出现。即便参数值还在增大，也就是说，非线性还在越来越用力地驱动这个系统，一个有着规则周期的窗口会突然浮现：一个奇数周期，像是周期 3 或周期 7。不断变化的种群数量以三年或七年为周期重复自己。然后，倍周期分岔以更快的速率重新上演，快速经过周期 3, 6, 12,…或周期 7, 14, 28,…，然后再一次突然终止，进入混沌。
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一开始，梅还无法看到这整个图景。但他所能算得的部分碎片已经足够令人不安。在一个现实世界的系统中，观察者一次只会看到对应于一个参数值的纵向切片。他只会看到一种类型的行为——可能是一个定态，可能是一个七年周期的循环，也可能是看上去的随机行为。他将无从知道，只要稍微改变某个参数，同一个系统就能够展现出一个完全不同类型的模式。
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在其《周期 3 蕴涵混沌》一文中，詹姆斯·约克便通过严谨的数学分析了这种行为。他证明了，在任何一个一维系统中，只要出现一个周期 3 的规则循环，那么这同一个系统也将展现出任何其他周期长度的规则循环，以及完全混沌的循环。正是这个发现，“像一道电击”，击中了像弗里曼·戴森这样的物理学家。它如此有违直觉。你原本会以为，构建一个会以周期 3 振荡重复自己，但永远不会生成混沌的系统简单得不值一提。但约克表明了，这是不可能做到的。
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