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21Richard P. Feynman, The Character of Physical Law (Cambridge, Mass.: The M.I.T. Press, 1967), p. 57.
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像其他很多开始研究混沌的人一样，达维德·吕埃勒也猜测，湍流中所见的那些模式（自相缠结的直线、螺旋转动的涡旋，以及在眼前出现又消失的漩涡）必定反映了深层的一些模式，而它们可由尚未被发现的定律加以解释。22 在他看来，湍流中的能量耗散必定仍然会导致一种相空间的体积收缩，一种趋向一个吸引子的运动。这种吸引子无疑不会是定点，因为湍流永远不会趋向静止。能量在不断耗散的同时，也在持续注入系统。那么它究竟是怎样一种吸引子？根据当时的正统理论，剩下只有另一种吸引子，一种周期性的吸引子，即所谓的极限环——一条闭曲线，附近的轨线都为它所吸引。如果一个单摆在因摩擦力失去能量的同时通过弹簧获得能量，也就是说，如果单摆在做有阻尼的受迫振动，它的稳定轨线可能是相空间中的一条闭曲线，而这对应于比如落地钟钟摆的规则摆动。不论单摆从什么位置开始摆动，它最终都将落在那条轨线上。但真是这样吗？对于有些初始条件（只具有极少能量的那些），单摆仍会最终停止摆动，所以这个系统实际上有两个吸引子，一个是闭曲线，另一个是定点。每个吸引子各有其“吸引域”，就像相邻的两条河流各有其集水区。
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22吕埃勒。
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短期而言，相空间中的任意一点都可以代表动力系统的一个可能行为。但长期来看，唯一的可能行为是吸引子本身。所有其他运动都是暂时性的。根据定义，吸引子具有一个重要性质，即稳定性——在一个现实系统中，尽管其运动部件受到了现实世界噪声的扰动，其运动仍然倾向于最终回归到吸引子。一个扰动可能让轨线短暂出现偏离，但由此产生的暂时性运动会逐渐停息。即便是猫咪拍打落地钟，钟也不会变成一分钟有六十二秒。但湍流是完全另一个层次上的行为，其中永远不会只有单一一个频率。事实上，湍流的一个显著特征是，所有可能的频率同时存在。它就像白噪声，或所谓静态噪声。这样一种东西怎么能从一个简单的、决定论式的方程组中生成？
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吕埃勒和塔肯斯想知道是否存在其他某种吸引子，它恰好具有某些性质。稳定性——它是一个动力系统在一个充斥着噪声的世界里最终会达到的状态。低维度——它是处于一个低维相空间（可能是一个矩形或一个盒子）中的轨线，只有少量几个自由度。非周期性——它永远不会重复自己，永远不会最终落入一个落地钟般、一板一眼的频率。从几何的角度看，这是这样一个难题：什么样的轨线可以在一个有限的空间里画出来，并使得它永远不会重复自己，也永远不会自相交？——因为一旦一个系统回到它之前经过的一个状态，它就必定要重复同样的路径。而为了生成所有可能的频率，这样的轨线应该是一条在一个有限面积里的无穷长曲线。换言之，它应该是分形的（尽管这个说法当时还没有被发明出来）。
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通过数学推理，吕埃勒和塔肯斯提出，这样一种东西必定存在。他们尚未见到一个实例，也没有自己画出一个。但对他们来说，这样一个论断已经足够了。后来，事隔多年，在波兰华沙举办的国际数学家大会的一次全会发言上，吕埃勒得以更冷静地给出评估：“当时科学界对于我们的理论提议的反应是相当冷淡的。特别是，认为有限维空间里的运动就可以生成频率的连续统的思想被当时的许多物理学家视为异端。”23 但当时也正是物理学家（当然，为数不多）意识到了他们 1971 年的这篇论文的重要性，并开始深入研究其意涵。
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23“Turbulent Dynamical Systems,”p. 275.
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实际上，等到 1971 年，科学文献中已经有一小幅曲线图，其中表现的正是吕埃勒和塔肯斯试图证明其存在但又设想不出其模样的那种怪物。爱德华·洛伦茨当初将它放进了他 1963 年讨论决定论式混沌的论文中。24 这幅图的右部只有两条曲线，其中一条在另一条里面，左部则有五条曲线。为了画出这七条曲线，需要在计算机上进行 500 次连续计算。而沿着这个轨迹运动、沿着这些曲线绕圈的一个点，正表现了洛伦茨的三方程对流模型所描述的流体的混沌行为。由于这个系统有三个相互独立的变量，因此这个吸引子存在于一个三维相空间中。尽管洛伦茨只画出了它的一小部分，但他已经能够看出还没有画出来的内容：这是某种双螺旋，就像一对有着无限敏捷身手的蝴蝶翅膀。当这个系统中的升腾热量驱动流体朝一个方向流动时，点的轨迹停留在右边的翅膀上；当流动逐渐停止并出现反转时，轨迹就会一下子跳到另一边的翅膀上。
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24“Deterministic Nonperiodic Flow,”p. 137.
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这个吸引子是稳定的、低维度的和非周期的。它永远不会自相交，因为不然的话，它就回到了一个已经访问过的点，而这意味着它接下来的运动会重复自己，周而复始。这样的事情永远不会发生——这也正是这个吸引子的美丽之处。这些曲线和螺旋有着无穷的深度，并且永远不会无限接近，永远不会相交。但它们又处于一个有限的空间中，局限于一个盒子之内。这如何能够做到？无穷多的路径如何能够存在于有限的空间中？
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在那个曼德尔布罗特的分形图案充斥科学市场之前的时代，如何构建这样一个形状的细节是当时之人难以想象出来的，洛伦茨也承认在他的尝试性描述中存在一个“看似的矛盾”。“很难调和两个平面（它们各包含一个螺旋）的重叠与两个轨迹不能相交的事实。”他这样写道。25 但他看出了一个精妙到无法透过自己计算机有限的计算能力呈现出来的答案。他意识到，在两个螺旋看上去要相交的地方，两个表面必定是要分开的，就像千层酥中借由奶油隔开的两片酥皮那样。“我们看到，每个表面实际上是两个表面，使得在它们看上去重叠的地方实际上有四个表面。继续这个过程，再绕一周，我们看到那里实际上有八个表面，如此等等，直到最终我们得出结论，那里实际上有无穷多个表面，每个都极其靠近这两个看似重叠的表面中的其中一个。”难怪当时 1963 年的气象学家会将这样的大胆猜想弃之一旁，也难怪当吕埃勒在此十年后最终了解到洛伦茨的工作时，他会感到又惊又喜。他后来拜访过一次洛伦茨，并带着一点儿失望而归，因为他们没有机会更多谈论他们在科学上的交集。26 生性内敛的洛伦茨将这次会面当成了一次社交应酬，而且他们当时还是与自己的妻子一起去参观一家美术馆。
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25Ibid., p. 140.
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26吕埃勒。
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探索吕埃勒和塔肯斯所揭示的方向的努力采取了两条思路。一条是在理论上尝试将奇怪吸引子可视化。洛伦茨吸引子是否具有典型性？还有其他哪些形状也是可能的？另一条则是通过实验确认或否认这样一个不那么高度数学化的信仰之跃，即相信奇怪吸引子也见于现实中的混沌行为。
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©Edward N. Lorenz
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第一个奇怪吸引子
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对于自己的简单对流模型，爱德华·洛伦茨在 1963 年只能计算出其奇怪吸引子的开始一小部分。但他已经能够看出，两个螺旋交错的地方必定在极小的尺度上有着不寻常的结构。
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在日本，通过研究行为类似弹性系统（但要快得多）的非线性电路，上田睆亮发现了一类极其美丽的奇怪吸引子。（他也从自己的同事那里收到了吕埃勒曾经面对过的冷淡回应：“你的结果不过是一种接近于周期性的振荡。你不要自以为是地认为那是定态。”27）在德国，奥托·勒斯勒尔，一位在研究混沌之前曾先后涉足化学和理论生物学领域的非临床医学博士，以他的独特才能，开始将奇怪吸引子当作哲学对象看待，让数学家只能跟在后面。勒斯勒尔的名字后来与一类特别简单的吸引子联系在一起；这类吸引子形似一条带子被折叠了一下，因其容易绘制而得到大量研究，但他也设想过它们在更高维度上的结构——“一根香肠在另一根香肠在另一根香肠在另一根香肠里，”他会这样说，“把它取将出来，折叠一下，压缩一下，然后放将回去。”28 确实，空间的折叠、压缩和拉伸是构建奇怪吸引子的一个关键，或许也是生成它们的现实系统的动力学的一个关键。勒斯勒尔感到，这些形状体现了我们世界的一个自组织原理。他设想了某种类似机场上的风向袋的东西——“一只末端有一个孔的开口袜子，然后风灌将进去，这样风就被困在里面，”他说道，“尽管有违其意志，能量还是做出了某种有益的事情，就像中世纪历史上的魔鬼。这里的原理是，自然做出了某种有违其意志的事情，并通过自相缠结，生成了大美。”
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27上田睆亮在下述综述中从非线性电路的角度回顾了他的早期发现，并在文后的附言中给出了对于自己的研究动机以及同事的冷淡回应的个人叙述：“Random Phenomena Resulting from Nonlinearity in the System Described by Duffing’s Equation,”in International Journal of Non - Linear Mechanics 20 (1985), pp. 481–491. 另见，斯图尔特，个人通信。
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28勒斯勒尔。
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为奇怪吸引子作图并不是一件轻而易举的事情。通常情况下，运动轨迹会由于折叠、压缩和拉伸而在三维或更高维的空间中变得越来越复杂，从而在空间中形成一团黑乎乎的乱麻，其内部结构根本无法从外部看出来。为了将这些三维乱麻转换成二维图像，科学家首先使用了投影技术，试图将吸引子投射在一个平面上的影子画出来。但对于复杂的奇怪吸引子，投影不过是将细节统统破坏而留下一块无法解读的污渍。一个更有效的技术是进行一次返回映射，或所谓的庞加莱映射：简单来说，就是选择一个适当的位置将一个吸引子一刀切开，然后观察其运动轨迹与截面相交的截点的分布规律，就像病理学家在显微镜下观察组织切片一样。
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庞加莱映射将一个吸引子降低了一个维度，将一条连续的线变成了一个离散的点的集合。在进行庞加莱映射时，科学家暗含地假设，这样的重构可以保留下原来运动的大部分实质。比如，他可以设想一个奇怪吸引子就存在于他的眼前，而其轨线忽上忽下、忽左忽右、来来回回地穿过他的计算机屏幕。每次轨线穿过屏幕，它就在相交的地方留下一个闪亮的光点，然后，这些点的集合要么形成一片随机的光斑，要么开始形成某种闪亮的形状。
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这个过程也对应于对一个系统的状态进行间歇地，而非连续地采样。以什么时间间隔进行采样（在哪些位置将一个奇怪吸引子切开），这个问题给了研究者某种灵活性。能够提供最有用信息的时间间隔可能对应于动力系统的某个物理特征：比如，庞加莱映射可以在一个钟摆每次经过最低点时对其速度进行采样。或者，研究者也可以自行选择一定的时间间隔，借着一只想象的频闪灯的有规则闪光，观察和记录下动力系统的一系列状态。不论采用哪种方法，由此得到的图像最终开始揭示出爱德华·洛伦茨当初猜想的精细分形结构。
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