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湍流的溪水、晃动的单摆、振荡的电路——许多物理系统都在通向混沌的过程中经历过一个转变，而这些转变始终太过复杂而难以分析。这是一些运作机制看上去已经得到透彻理解的系统。物理学家已经知道描述它们的方程，但透过方程理解它们全局的、长期的行为似乎是一件不可能的任务。更不幸的是，描述流体，或甚至单摆的方程要远比简单的一维逻辑斯谛映射更具挑战性。但费根鲍姆的发现意味着，这些方程其实无关紧要。它们是不相关的。当秩序涌现出来的时候，它似乎就突然忘记了自己原本出自哪个方程。不论是二次函数，还是三角函数，结果都是一样的。“物理学的整个传统是，你将运作机制提取出来，然后剩下的就水到渠成了，”他说道，“这样的做法现在完全不行了。你知道正确的方程，但它们就是无法提供什么帮助。你把所有的微观碎片拼凑起来，然后你发现你无法将它们外推到长期的情况。它们已经不是问题的重点所在。这彻底改变了我们对于‘知道什么’或‘不知道什么’的认知。”17
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17费根鲍姆。
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尽管数值计算与物理学之间的关联还是模糊的，但费根鲍姆已经找到证据，表明他需要找出一种计算非线性复杂问题的新方法。到目前为止，所有的现有技术都取决于函数的细节。如果函数是一个正弦函数，费根鲍姆费劲做出来的计算就是正弦函数计算。但他发现的普适性意味着所有这些技术将不得不被抛弃。这里的规则性与正弦函数无关。它与抛物线方程无关。它与任何特定函数无关。但这究竟是为什么？想来不免让人沮丧。大自然短暂拉开了一道窗帘，让人得以一窥某种意想不到的秩序。在那道窗帘后面还隐藏着什么迷人的东西？
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当灵感到来的时候，它以一个图案的形式出现——一幅心智图像，其中包括两个小的曲折形状以及一个大的形状。仅此而已——浮现在他脑海中的一幅明亮、清晰的图像，或许不过是他的潜意识心理过程的冰山一角。它与标度有关，并且它为费根鲍姆指明了他所需的前路。
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他当时正在钻研吸引子。逻辑斯谛映射最终达到的定态是一个定点——不论初始“种群数量”是多少，所有轨线都将稳定地趋向这个吸引子。然后，随着第一次倍周期分岔发生，这个吸引子一分而二，就像细胞分裂。一开始，这两个点间不容发；慢慢地，随着参数值增大，它们开始分开。然后，另一次倍周期分岔发生：吸引子的每个点同时再次一分而二。费根鲍姆常数可以让他预测出下一次倍周期分岔在何时发生。此时，他发现自己还可以预测出这个越来越复杂（两个点、四个点、八个点……）的吸引子的每个分岔点的精确数值。也就是说，他可以预测出，在不断的年际振荡中，种群数量最终将达到的数值。这里存在另一个几何级数收敛。这些数也遵循一个标度律。
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费根鲍姆正在探索的是一块数学与物理学之间的被遗忘的中间地带。他的工作难以归类。它不是数学，毕竟他没有在证明任何东西。确实，他在研究数，但数之于数学家就如同钱之于投资银行家；在名义上，它们是他的专业所研究的对象，但实际上，它们太过实在，不值得在上面浪费时间。思想才是数学家真正的“通货”。费根鲍姆正在进行的其实是一个物理学研究，并且可能听来奇怪，它几乎可以说是一种实验物理学。
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© H. Bruce Stewart, J. M. Thompson/Nancy Sterngold
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目标指向混沌
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一个简单的方程，经过反复迭代：米切尔·费根鲍姆关注的是一些直截了当的函数，取一个数作为输入，然后生成另一个数作为输出。对于动物种群数量，这样一个函数可能表达的是今年的种群数量与次年的种群数量之间的关系。
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将这样一些函数可视化的方式之一是作图，将输入放在横轴上而将输出放在纵轴上。对于每个可能的输入 x，对应只有一个输出 y，并且它们构成了一个由粗线表示的图形。
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然后，为了表现系统的长期行为，费根鲍姆画出了一条轨迹，它从某个任意选取的 x 出发。由于每个 y 接着会作为新的输入代入同一个方程，因此他使用了某种辅助线：这条轨迹将在函数图形与分角线之间来回反射，因为在分角线上，x 等于 y。
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对于生态学家来说，描述种群增长最显而易见的一类方程是线性的——马尔萨斯式增长，每年以一个固定速率不受限制地增长（左上图）。更贴近现实的函数则会形成一个拱形，让种群数量在达到最大值后掉头往下。这里所举的例子是所谓的“逻辑斯谛映射”，它是一条完美的抛物线，由函数 所定义，其中常数参数 决定了抛物线的陡峭程度。但费根鲍姆发现，自己选取哪种拱形其实无关紧要。方程的细节不重要，重要的是函数应该有一个“驼峰”（单峰映射）。
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不过，系统的行为还是敏感地依赖于函数的陡峭程度——其非线性程度，或者如罗伯特·梅所说的，其“盛衰”参数。一个太过平缓的函数会导致种群灭绝：任何初始种群数量都会最终趋向于零（左中图）。增加陡峭程度会生成传统生态学家预期见到的定态，而那个所有轨迹都趋向于此的点是一个一维“吸引子”（右中图）。
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在超过一个特定值后，分岔发生，导致种群数量在大小年之间来回振荡（左下图）。然后，更多的倍周期分岔发生；最终（右下图），轨迹将拒绝安定下来而遍历所有可能的点。
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这样一些图像是费根鲍姆在尝试构建一个普适理论时所借助的起始点。他开始从递归的角度思考：函数的函数，然后函数的函数的函数，如此等等；拥有两个“驼峰”的映射，然后拥有四个“驼峰”的映射，如此等等。
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但费根鲍姆的研究对象不是介子和夸克，而是数和函数。它们具有轨迹和轨道。而他需要探究它们的行为。他需要（借用一个后来在这门新科学中被用滥了的说法）创造出直觉。他的粒子加速器和云室是计算机。在构建自己的理论的过程中，他也在构建一种方法论。通常情况下，一位计算机使用者会构造出一个问题，输入后等待机器计算出解——一个问题，一个解。但费根鲍姆及后来的混沌研究者想要更多。他们想要做洛伦茨当初所做的——创造出迷你宇宙，并观察其演化。然后他们可以改变这个或那个特征，并观察其改变后的演化路径。毕竟，他们服膺这样一个信念，即特定特征上的微小改变可以导致整体行为上的显著变化。
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费根鲍姆很快就发现，洛斯阿拉莫斯的电子计算机设施是何等难以满足他想要发展的那种计算风格。尽管拥有大量资源，比大多数大学都要多得多，洛斯阿拉莫斯却没有多少能够显示图像和图形的终端，并且仅有的这些终端还都在武器部。费根鲍姆想要取一些数，并将它们绘制成图。这时他不得不求助于最原始的方式：长长的一卷打印纸，上面的一行行空格后面跟着一个星号或一个加号。在洛斯阿拉莫斯，官方所持的政策是，一部大型计算机远比许多小型计算机更有用——这个政策正好契合一个问题一个解的传统。小型计算机并不受待见。此外，任何部门想要新购置一部计算机，都需要符合严格的政府采购指南，并通过一个正式的评审。只是在后来，通过变换理论部的预算名目，费根鲍姆才得以成为一部价值两万美元的“桌面计算器”的使用者。到时，他就可以在进行过程中改变他的方程和图形，不断调校它们，就像摆布乐器那样操弄计算机。但在当时，唯一能够真正显示图像的那些终端都处在高度机密的区域——用当地的说法来说，处在围栏之后。费根鲍姆不得不使用一部终端，后者则通过电话线连接到一部计算机主机。在这样一种安排中工作，使人很难在电话线的另一端直观感受到计算机的纯粹力量。即便最简单的任务也需要花上几分钟时间。编辑程序里的一行代码，意味着按下回车键，然后在终端片刻不停的嗡嗡作响中默默等待，等待主机在轮流处理完实验室里其他用户的任务之后再轮到自己。
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在进行计算的过程中，他也在思考。什么样的新数学才能够生成他现在观察到的多重标度模式？他意识到，有关这些函数的某种东西必定是递归的、自我指涉的，一个函数的行为由隐藏其中的另一个函数的行为所指导。那个曾经带给他灵感的曲折图像也表明，一个函数可以通过尺度变换去匹配另一个函数。他使用了重整化群理论，利用尺度变换将无穷大的量变成可处理的量。在 1976 年春，他进入了一个前所未有的废寝忘食的状态。他会思考得出神，接着疯狂编代码，然后用铅笔写来写去，接着再编代码。他无法向 C 部打电话寻求帮助，因为只有登出主机才能使用电话，而重新连接是有风险的。他无法暂时停下来，哪怕思考个五分钟，因为超过这个时间没有动作，主机就会自动断开连接。时不时地，计算机还是会不由分说地死机，让他气得发抖。他没有停歇地工作了两个月，每天工作二十二小时。他会试着在一种兴奋状态下入睡，然后在两小时后醒来，这时他的思绪仍然停留在他之前中断的地方。他的饮食只有咖啡。（即便在他健康平和的时候，费根鲍姆也只靠最红的红肉、咖啡和红酒维生。他的朋友们不禁猜测，他必定是从香烟中摄取了维生素。18
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18茨维塔诺维奇。
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最终，一位医生终止了这一切。费根鲍姆被要求服用少量安定，并进行一次强制休假。但等到那时，他已经创造出了一个普适理论。19
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