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27P. Collet, J. - P. Eckmann, and H. Koch,“Period Doubling Bifurcations for Families of Maps on,”Journal of Statistical Physics 25 (1981), pp. 1–14.
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在计算机之外，在一个流体实验中找到一个奇怪吸引子仍然是一个严肃的挑战。像哈里·斯温尼这样的实验科学家在进入 20 世纪 80 年代多年后依然致力于此。而当实验科学家最终取得成功时，新一代的计算机专家常常对他们的结果嗤之以鼻，认为它们不出意料是对于在自己的图形终端上随手可得的那些精细异常的图像的拙劣的、可预测的追随。在一个计算机实验中，当你生成了成千上万或成百上千万的数据点时，模式就会多多少少自己浮现出来；而在一个实验室中，就像在现实世界中，你需要努力将有用的信息与噪声区分开来。在一个计算机实验中，数据就像从一个魔法酒杯中汩汩流出的美酒一样；而在一个实验室实验中，你需要为每一滴酒费尽全力。
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尽管如此，单靠计算机实验的力量，费根鲍姆及其他人的新理论还做不到吸引来自如此广泛领域的众多科学家的注意。为了将使用非线性微分方程组表示的系统转化为计算机模型，这当中所需的修正、妥协和近似难免令人生疑。计算机模拟将现实大卸八块，努力切得尽可能多，但结果终究总是太少。一个计算机模型只不过是由程序员选取的一套武断的规则。而一种现实世界中的流体，即便是在一个经过简化的毫米级的对流室中的流体，都拥有毋庸置疑的潜力，可以展现出大自然中所有未受桎梏的无序运动。它拥有不断给人惊喜的潜力。
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在如今这个计算机模拟大行其道的时代，当各式各样的流——不论是喷气发动机中的，还是心瓣中的——都在超级计算机上得到建模的时候，人们已经很难想象大自然如何轻而易举就让一位实验科学家感到茫无头绪。事实上，今天没有哪一部计算机可以完全模拟一个哪怕简单如利布沙贝的液氦对流室的系统。每当一位优秀的物理学家在检视一个计算机模拟时，他必定会好奇现实的哪些部分被剔除在外了，又有哪些潜在的惊喜被小心避开了。利布沙贝常常喜欢说，他不会想要乘坐一架模拟出来的飞机——因为他会好奇有哪些部分是缺失的。此外，他也会说，计算机模拟可以帮助建立直觉或优化计算，但它们无法催生真正的发现。不管怎样，这是实验科学家的信条。他的实验如此干净，他的实验目标如此抽象，以至于当时仍然有物理学家认为利布沙贝的工作更近于哲学或数学，而非物理学。而反过来，他相信这个领域的主流标准是还原论，是将原子的属性视为高于一切。“一位物理学家会问我，这个原子如何能够来到这里，然后停留在那里？它对于表面的灵敏性是多少？你能写出这个系统的哈密顿量吗？
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“而如果我告诉他，我根本不在意这些东西，我感兴趣的是这个形状、这个形状的数学和演化，以及从这个形状到那个形状再到这个形状的分岔，那么他又会告诉我：‘这不是物理学，你是在做数学。’即便到今天，他大概还会这样说。那么我还能说什么呢？当然，是的，我是在做数学。但它与我们周围的一切相关。它也是大自然的一部分。”28
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28利布沙贝。
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他所发现的模式确实是抽象的。它们是数学的。它们与液氦或纯铜的性质，或者原子在接近绝对零度时的行为无关。但它们是利布沙贝的神秘主义前辈所梦想一窥究竟的模式。它们开辟了一个新的实验领域，在其中，从化学家到电子工程师的许多科学家很快将成为探索者，探寻运动的新元素。当他第一次成功地提高温差，使得第一次、第二次、第三次分岔渐次出现时，他就看到了它们。根据新理论，这些分岔应该生成一种具备标度特征的几何学，而这正是利布沙贝所看到的，费根鲍姆普适常数也在那一刻从一个数学抽象变成了一个物理现实，可被测量，可被复现。多年以后，他仍然记得当初目睹一个分岔接着一个分岔出现，然后意识到自己看到的是一种有着精细结构的无穷级联时的感受。他说，这让人感到好玩儿。
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混沌：开创一门新科学 第八章 混沌的图像
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痛苦。整个场景充满痛苦，没有别的，只有痛苦。在混沌向内收敛所有力量，以期形成一片树叶的时候，还能有别的吗？
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——康拉德·艾肯，《房间》
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迈克尔·巴恩斯利在 1979 年法国科西嘉岛的一次学术会议上见到了米切尔·费根鲍姆。1 这也是巴恩斯利，这位出身于牛津大学的数学家，首次了解到普适性、倍周期分岔以及分岔的无穷级联。真是个不错的想法，他心想，这无疑会引得科学家竞相试图从中分一杯羹。那么他呢？巴恩斯利认为自己看到了之前没有人注意到过的一个切入点。
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1巴恩斯利。
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这些周期 2、4、8、16，即这些费根鲍姆序列，从何而来？它们是凭空出现，从某种数学虚无中神奇地蹦出来的吗？又或者它们其实只是某种更深层次的东西的影子？巴恩斯利的直觉是，它们必定是某种远在视野之外的、奇妙的分形现象的一部分。
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对于自己的这个想法，他有一个语境，那就是一个称为复平面的数值世界。在复平面上，从负无穷到正无穷的所有数（也就是说，所有实数）落在一条东西向的直线上，中间则是零点。但这条直线只是这个世界的“赤道”，因为世界还在南北向上无限延伸。因此，每个数其实由两个部分构成，实部对应于东西向的经度，虚部对应于南北向的纬度。这些所谓的复数通常写成这样的形式：2 + 3i，其中符号 i 标记了虚部。这两个部分给出了每个数在这个二维平面上的唯一地址。原本的实数直线于是成了复数的一个特殊情况，也就是说，这些数的虚部为零。在复平面上，只看实数（只看赤道上的那些点）会让人将视野局限于一些形状与这条直线可能有的交点上，但这些形状，如果被放在二维平面上看，可能会透露出其他更多秘密。巴恩斯利进行了这样的大胆假设。
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“实”和“虚”的名字源自过去那个普通的数确实看上去要比这种新的“复合”之数更真实的时代，但到现如今，这些名称已经被视为不过是相当武断的说法，这两种数其实跟其他数学对象一样真实，也一样虚构。从历史上看，虚数的发明是为了填充这样一个问题所留下的概念空白：负数的平方根是什么？根据约定，-1 的平方根是 i，-4 的平方根是 2i，如此等等。人们很快意识到，实数和虚数的复合体也可以进行各种多项式运算。复数可以进行加法、乘法、求平均值、因数分解、求积分。事实上，任何可以在实数上进行的运算也可以在复数上加以尝试。当巴恩斯利开始将复数值代入费根鲍姆的方程，将它移植到复平面上时，他看到一类奇妙的形状的轮廓浮现了出来，它们看上去跟实验科学家所着迷的动力学理论有关系，但也带有数学构造的鲜明痕迹。
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他意识到，倍周期分岔中的这些周期根本不是凭空出现的。它们被铺开在复平面上，不同的周期大小错落。总有一个周期 2、一个周期 4、一个周期 8 等处在视野之外，直到它们与实数直线相交。巴恩斯利匆忙从科西嘉岛赶回自己位于美国佐治亚理工学院的办公室，然后写作了一篇论文。他将这篇论文投给《数学物理学通讯》发表。该期刊的编辑碰巧是达维德·吕埃勒，而吕埃勒告诉了他一个坏消息。巴恩斯利无意中重新发现了一位法国数学家在五十多年前所做的一项工作。“吕埃勒把论文退了回来，就仿佛它是一块烫手山芋，并说道：‘迈克尔，你是在讨论朱利亚集合。’”巴恩斯利后来回忆道。2
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2巴恩斯利。
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吕埃勒还给了一个建议：“去找一下曼德尔布罗特吧。”
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三年前，约翰·哈伯德，这位喜欢穿着花哨 T 恤的美国数学家正在位于巴黎西南奥尔赛的巴黎大学教授大一新生初等微积分。3 其中他会讲到的一个常规话题是牛顿法，一种通过渐次做出更好的近似来求解方程的经典方法。然而，哈伯德对于常规话题已经有点儿厌倦了，所以他决定这次尝试以一种会迫使学生进行思考的方式教授牛顿法。
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3哈伯德；also Adrien Douady,“Julia Sets and the Mandelbrot Set,”in The Beauty of Fractals: Images of Complex Dynamical Systems, eds. H. - O. Peitgen and P. H. Richter (Berlin: Springer, 1986), pp. 161–174. 这本《分形之美》也给出了对于牛顿法以及我们这一章讨论到的复杂动力学的其他交叉领域的一个数学概述。
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牛顿法由来已久，甚至在牛顿发明它之前就古已有之。古希腊人便使用过它的一个版本来寻找平方根。这种方法先从一个猜测开始。初始猜测引出一个更好的猜测，然后这个迭代过程不断重复，逐渐逼近一个答案，就像一个动力系统不断趋向其定态。这个过程收敛得很快，一般可以使得小数点后的精确位数每一步翻一倍。当然，现如今，求平方根可以用到更多数值分析方法，求二次方程（未知数的最高次数是二次的多项式方程）的所有根也是如此。但牛顿法也适用于更高次数的、无法直接求解的多项式方程。这种方法还被广泛用于各种计算机算法，毕竟迭代向来是计算机的强项。牛顿法的一个小小棘手之处在于，方程通常拥有不止一个解，尤其是需要考虑到复数解时，而这种方法会找到哪个解取决于初始猜测。在实践中，学生们发现这根本不成问题。你对于应该从何处开始一般有着很好的估计，而即便你的猜测看上去要收敛到一个错误的解，你也大可换个地方重新开始。
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他们可能会好奇，牛顿法到底是以怎样一种方式逼近一个二次方程在复平面上的一个根的？从几何角度思考，一个可能的回答是，这种方法单纯只是找到两个根中更靠近初始猜测的那一个。这也是哈伯德一天在被问及这个问题时告诉他的学生的。
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“至于比如三次方程，情况看上去要更为复杂，”哈伯德自信满满地说道，“我回去想一下，下周再告诉你们。”4
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