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4“Julia Sets and the Mandelbrot Set,”p. 170.
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他仍然设想，这时的困难之处会是教授他的学生如何计算迭代，而做出初始猜测则会是容易的。5 但他对此思考得越多，他发现自己了解得越少——对于什么才算一个聪明的猜测，或者更进一步地，对于牛顿法究竟是怎样运作的。那个显而易见的几何化猜想会将复平面平分成三个扇形，每个扇形包含一个根，但哈伯德发现情况并没有这样简单。奇怪的事情发生在靠近边界的地方。此外，哈伯德还发现自己并不是第一位邂逅这个出人意料困难的问题的数学家。阿瑟·凯莱曾在 1879 年尝试将容易处理的二次方程情况扩展到极难解决的三次方程情况。不过，在一个世纪后，哈伯德手头拥有了凯莱当时所没有的一件工具。
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5哈伯德。
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哈伯德属于这样一类数学家，他们鄙弃猜测、近似、基于直觉而非证明的半吊子真理。他也属于这样一批数学家，他们会在爱德华·洛伦茨的吸引子见诸科学文献的二十多年后仍然坚持认为，没有人知道这些方程是否真的会生成这样一个吸引子。它还是一个未经证明的猜想。他会说，大家熟悉的双螺旋并不是证明，而不过是证据，只是计算机画出来的某种东西。
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尽管如此，他现在还是开始试着利用计算机做些原来的正统数学方法所没有做过的事情。计算机证明不了任何东西，但至少它可能揭示出真理，使得数学家可以知道自己应该试图证明什么。所以哈伯德开始进行数值实验。他不是将牛顿法视为一种解决问题的方法，而是将它本身视为一个问题。哈伯德考虑的是一个三次方程的最简单的例子——方程 ，也就是说，求 1 的立方根。当然，在实数域，它只有一个平凡解：1。但这个多项式方程还有两个复数解： 和 。画在复平面上，这三个根构成了一个等边三角形，其中一个点位于三点钟方向，一个点位于七点钟方向，另一个点位于十一点钟方向。现在的问题是，给定任意一个复数作为起始点，看看牛顿法最终会得出这三个解中的哪一个。这就好像牛顿法是一个动力系统，而三个解是三个吸引子；又或者说，这就好像复平面是平滑过渡到三个深谷的一个表面。一颗玻璃球，不论被放在表面上的哪一点，都应该滚进这三个谷地中的一个——但具体是哪一个呢？
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哈伯德开始从构成复平面的无穷多个点中采样。他让计算机一一处理这些点，计算出在每种情况下使用牛顿法的结果，并用不同颜色对不同结果编码。最终会得出第一个解的所有起始点用蓝色标出，最终趋向第二个解的点标为红色，生成第三个解的点则标为绿色。他发现，在最粗略的近似下，牛顿法的动力学确实将整个复平面平分成了三个扇形。在一般情况下，那些更靠近某个解的点很快会得出那个解。但系统的计算机探索这时也揭示出了一些更为复杂的行为，而它们是先前那些只能这里计算一个点、那里计算一个点的数学家从未见过的。尽管有些初始猜测很快收敛到一个根，但有些点在最终收敛到一个解之前要先看似随机地跳来跳去一番。有时候，似乎一个点可以落入一个永远不断重复自己的循环（一个周期性循环）当中，而不会趋向三个解中的任何一个。
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随着哈伯德驱使他的计算机去探索越来越精细的细节，从中开始浮现出来的图案让他和他的学生深感困惑。比如，在蓝色与红色谷地之间，他看到的不是一条泾渭分明的分水岭，而是一些绿色的斑块，犹如一串宝石点缀其间。这就好像一颗玻璃球，在相邻两个谷地争夺不下的时候，却最终落入了最遥远的第三个谷地。在两种颜色之间终究无法充分形成一条边界。6 在进一步放大检视下，一个绿色斑块与蓝色谷地之间的曲线被证明也具有红色的斑块，如此等等。这里的边界最终向哈伯德揭示出了一个奇特性质，让即便看惯了曼德尔布罗特的怪异的分形图案的人也不免感到疑惑：没有一个点是仅两种颜色之间的一个边界。只要两种颜色试图走到一起，第三种颜色就会介入，将一系列新的、自相似的成分插入其间。不可思议的是，每个边界点都邻接所有三种颜色的各一个区域。
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6哈伯德；The Beauty of Fractals; Peter H. Richter and Heinz - Otto Peitgen,“Morphology of Complex Boundaries,”Berichte der Bunsengesellschaft für Physikalische Chemie 89 (1985), pp. 575–588.
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© Heinz-Otto Peitgen, Peter H. Richter
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具有无穷复杂性的边界
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当一个派被切成三块扇形小块时，它们只在一个点三块相交，而任意两块之间的边界也简单明了。但抽象数学以及现实世界物理学中的许多过程最终被证明可以生成几乎不可想象的复杂性。
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在上面的图中，被用于求 -1 的立方根的牛顿法将复平面分成了三个相等的区域，其中一个用白色标出。所有的白色点都被“吸引”到位于最大的白色区域内的根，所有的黑色点都被吸引到另外两个根之一。这里的边界具有一个奇特性质，即每个边界点都邻接所有三个区域。并且正如局部放大图所显示的，放大后的部分具有一种分形结构，在越来越小的尺度上不断重复原来的基本模式。
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哈伯德就这些复杂形状及其数学意涵展开了研究。他及其同事的工作很快开辟出了动力系统研究的一条新战线。他意识到，牛顿法的作图只是一大类尚未得到探索的、反映了现实世界中的行为模式的图案之一。迈克尔·巴恩斯利也正在研究这个家族的其他成员。而正如这两人很快会了解到的，贝努瓦·曼德尔布罗特则正在研究所有这些形状的“老祖宗”。
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曼德尔布罗特集合 7 是数学中最复杂的对象，其推崇者常常喜欢这样说。8 即便永恒的时间也不足以将它穷尽，看遍其圆盘上参差的凸起（“原子”）、凸起上卷起的螺旋、螺旋上挂着的球状分子——它们就像上帝的私人葡萄藤上结的葡萄，排布变化万千。在计算机屏幕上不断放大其局部，曼德尔布罗特集合看上去要比分形更分形，在每个尺度上都有着如此丰富的复杂性。要想为其中的不同图案进行编目，或者对集合的轮廓给出一个数值描述，无疑需要用到无穷多的信息。但一个悖论出现了：要想传递该集合的一个完整描述，却只需要传输一段数十个字符的代码。一段简短的计算机程序就包含足够的信息来重现整个集合。这种集复杂性和简单性于一身的做法让最早一批意识到这一点的研究者都不禁深感意外——甚至曼德尔布罗特也不例外。曼德尔布罗特集合后来成为混沌的某种公共符号，出现在会议手册和工程季刊的封面上，充当着一个在 1985 年和 1986 年到世界各地展出的计算机艺术展的重头戏。其美丽很容易就从这些图案上感受到，其含义则要更难把握到，数学家也是慢慢才开始理解。
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7一个通俗易懂的入门介绍（连同一个可以自己运行的计算机程序），可参见：A. K. Dewdney,“Computer Recreations,”Scientific American (August 1985), pp. 16–32. 派特根和里希特在《分形之美》中不仅给出了一些令人叹为观止的图案，还给出了一个对于曼德尔布罗特集合的数学的细致综述。
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8比如，哈伯德。
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许多分形形状都可以通过在复平面上进行的迭代过程加以生成，但曼德尔布罗特集合只有一个。它最早开始隐约显露身形，是在曼德尔布罗特试图找到一种方式将一类称为朱利亚集合的形状加以一般化的时候。朱利亚集合由法国数学家加斯东·朱利亚和皮埃尔·法图在第一次世界大战期间最早提出并加以研究（当时，他们可没有这些计算机生成的图案可供参考）。曼德尔布罗特在二十岁的时候曾经见过他们平实的绘图，也读过他们的作品（当时已然少有人问津）。朱利亚集合也正是吸引了巴恩斯利的那些数学对象。它有着多种多样的面目，有些仿佛是将圆形在多处挤压变形，使之具有一个分形结构；有些则破碎形成多个区域，还有些更是支离破碎成星星点点。但不论是欧氏几何的语言，还是其概念，都不足以描述它们。法国数学家阿德里安·杜阿迪就这样描述道：“通过变换参数，你可以得到惊人之多的朱利亚集合：有些是一块臃肿的云彩，有些是一根干枯的灌木枝，有些则看上去像烟火散落的火花。其中一种集合形似一只兔子，其他很多集合则有着海马般的尾巴。”9
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9“Julia Sets and the Mandelbrot Set,”p. 161.
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© Heinz-Otto Peitgen, Peter H. Richter
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几种典型的朱利亚集合
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1979 年，曼德尔布罗特发现，他可以在复平面上创造出这样一个图像，它作为朱利亚集合的一个目录，竟然将它们每一个都网罗其中。10 当时他正在探索一些复杂过程（涉及平方根、正弦和余弦的方程）的迭代。尽管曼德尔布罗特自己的学术生涯是围绕着“简单性催生出复杂性”这样一个命题展开的，但他一开始并没有立刻理解这个透过 IBM 和哈佛大学的计算机屏幕只能窥见一斑的对象的非凡之处。他极力催促程序员，想要看到更多细节，程序员们也竭尽全力调配已然捉襟见肘的内存，努力在一部配备简陋的黑白显像管的 IBM 大型机上计算出新的插值点。让事情雪上加霜的是，程序员还得时刻提防计算机探索的一个常见陷阱，避免生成一些“赝像”，也就是那些单纯源自机器的某种机缘巧合、因而在程序稍作调整后就会消失不见的特征。