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10曼德尔布罗特，拉夫，哈伯德。曼德尔布罗特对此的一个自述是：“Fractals and the Rebirth of Iteration Theory,”in The Beauty of Fractals, pp. 151–160.
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然后，曼德尔布罗特将注意力转向了一个尤其容易编程的简单映射。在一个粗略的网格上，程序只消重复其反馈环不多的次数，由几个圆盘构成的初步轮廓就出现了。用铅笔进行的少量验算表明，这些圆盘在数学上是真实存在的，并不是某种计算上的巧合的偶然产物。在主圆盘的左边和右边，还出现了暗示存在更多形状的蛛丝马迹。他后来回忆说，在他的心智中，他看到了更多：一个形状层层嵌套的结构，原子内有更小的原子，直至无穷。并且，在这个集合与实数直线相交的地方，这些越来越小的圆盘的层层嵌套，呈现出一种几何上的规则性，也就是动力学研究者现在所谓的倍周期分岔的费根鲍姆序列。
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这一点尤其鼓励他将计算进一步进行下去，将这些粗略的初步图像更加精细化，而他也很快发现，在圆盘的边缘及其附近区域散落着斑斑点点。随着他试图计算出越来越精细的细节，他突然发觉自己的好运走到了尽头。11 这些图案不是变得越来越清晰，而是变得越来越模糊。他回到 IBM 在纽约州韦斯特切斯特县的研究中心，试图利用那里令哈佛大学望尘莫及的算力。出乎他的意料的是，这种越来越模糊其实是某些真实存在的东西的征象。众多萌芽和卷须从主岛上慵懒地生发出来。曼德尔布罗特看到，一条原本看上去平滑的边界这时自己消解成一条由海马尾巴般的螺旋构成的长串。非理性催生出理性。
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11曼德尔布罗特；The Beauty of Fractals.
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曼德尔布罗特集合是一个点的集合。复平面上的每一个点（也就是每一个复数）要么在这个集合里，要么在集合外。描述这个集合的方式之一是，进行一个涉及某种迭代的简单算术运算的检验。为了检验一个点，取这个复数，取其平方，再加上原来那个复数，然后取这个结果的平方，再加上原来那个复数，如此反复。如果这个和数越变越大，直至无穷大，那么这个点就不在曼德尔布罗特集合里；如果和数始终保持有限（它可以陷入某种循环，或者它可以混沌地游走），那么这个点便在曼德尔布罗特集合里。
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这种无限重复一个过程，然后问结果是否有限的做法，与日常生活中的反馈过程很相像。设想你要在一座礼堂里布设话筒、功放和喇叭，但你担心出现声音反馈导致的啸叫。如果话筒拾取到一个足够响的噪声，那么从喇叭里传出的、经过放大的声音就会再次被话筒拾取到，从而陷入一个无穷无尽、越来越响的循环。反过来，如果噪声足够小，它就会逐渐消散于无形。为了用数为这个反馈过程建模，你可以选取一个初始值，让这个数自己乘以自己，然后让这个结果自己乘以自己，如此等等。你会发现，大的数很快会趋于无穷大：10, 100, 10 000,…。但小的数会趋于 0：。为了给出一个几何图像，你可以定义这样一个点的集合，即其中的所有点在被代入这个过程时最终不会趋于无穷大。试考虑在正数轴上的那些点，如果一个点生成了一个啸叫，将它标记为白色，否则将它标记为黑色。很快，你就会看到一个由一条从 0 到 1 的黑色线段构成的形状。
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曼德尔布罗特集合的逐渐浮现
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在贝努瓦·曼德尔布罗特最初的计算机输出图像中，一个粗略的结构浮现了出来，并随着计算质量的改善而呈现出更多细节（上图、对页下图及下图）。但这些像虫渍一样、斑斑点点的“分子”是孤立的小岛屿吗？又或者它们其实是由细到看不出来的游丝连到主岛上的？这在当时并无法判断。
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对于一个一维过程，我们实际上并不需要付诸实验检验。我们很容易就可以确定，比某个数大的所有数都会在经过迭代后趋于无穷大，反之则不然。但在二维的复平面上，要想推断出由某个迭代过程定义的形状的样子，仅仅知道这个方程一般来说是不够的。不像圆、椭圆、抛物线之类的传统几何形状，曼德尔布罗特集合不允许抄捷径。要想看出具体某个方程的图像是什么样子的，唯一的办法是一一试错，而这种试错的工作方式让探索这片数学新天地的探险家更接近于麦哲伦，而非欧几里得。
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以这种方式将形的世界与数的世界连通起来，代表了一种破旧立新。毕竟新的几何学总是起源于有人改变了某条基本规则。一个几何学家突发奇想：设想空间可以不是平直的，而是弯曲的，由此得出的是对于欧氏几何的一个奇怪变体，后者恰好是广义相对论所需的适当框架。设想空间可以是四维的，甚至五维、六维的。设想表示维数的数可以是一个分数。设想形状可以被弯曲、拉伸或打结。又或者在这里，设想形状可以不是由一次性求解某个方程定义的，而是由将它反复迭代定义的。
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朱利亚、法图、哈伯德、巴恩斯利、曼德尔布罗特——这些数学家由此改变了如何绘制几何形状的规则。对于在欧氏空间和直角坐标系中将方程变成曲线的方法，任何学过高中几何学，或知道在地图上利用两个坐标找到一个点的人都不陌生。标准几何学会取一个方程，然后找出满足它的数的集合。然后，这些解构成了一个形状，比如方程 的所有解就构成了一个圆。其他简单方程则会生成其他图形，比如椭圆、抛物线、双曲线之类的圆锥曲线，甚至微分方程在相空间中生成的更复杂的形状。但当一个几何学家反复迭代一个方程，而不是求解它时，这个方程就变成了一个过程，而不是一个描述，变成动态的，而不是静态的。一个数被代入这个方程，得到一个新的数，接着这个新的数又被代入其中，不断反复，得到一系列四处蹦来蹦去的点。但一个点会在图上被标记出来，不是因为它满足了这个方程，而是因为它生成了某种特定行为。这样一种行为可能是趋于一个定态，可能是收敛到一个不同状态的周期性重复，也可能是失去控制，趋于无穷大。
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在计算机出现之前，即便朱利亚和法图理解这种新的函数作图法的可能性，他们也缺乏必要的手段，使之变成一门科学。而有了计算机的帮助，这种试错的几何学最终变得可能。哈伯德通过计算一个个点的行为来探索牛顿法的动力学，曼德尔布罗特也以同样的方式第一次将他的集合可视化，利用计算机遍历复平面上的点，一个接一个。当然，不是所有的点。鉴于时间和算力有限，这样的计算使用的是一个网格。更精细的网格可以给出一个更清晰的图案，但代价是计算时间更长。对于曼德尔布罗特集合来说，这样的计算还算简单，因为迭代过程本身非常简单：在复平面上迭代计算映射 。也就是说，取一个数，让它自己乘以自己，然后加上原来那个数。
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随着哈伯德逐渐熟悉这种利用计算机探索形状的新方式，他也开始应用一种创新的数学研究方式，将复分析的各种方法第一次应用到动力系统上。并且，他感到一切都看上去顺理成章。不同的数学分支交汇到了一个路口。他知道，仅仅看到曼德尔布罗特集合是不够的，他还想要理解它，并且事实上，他最终声称自己也确实做到了。
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如果这里的边界只是朱利亚集合意义上的分形，那么下一个图案会看上去多少跟上一个差不多。不同尺度上的自相似性会使得我们有可能预测出电子显微镜在下一个放大倍数上会看到些什么。但相反，对于曼德尔布罗特集合的每次更深的涉足都带回来了新的惊喜。曼德尔布罗特不免开始担心自己先前给出的分形定义太过狭窄，毕竟他无疑想要让这个词也适用于这个新的对象。12 如果这个集合被放大到一定程度，我们确实可以看到包含它自己的粗略副本，看到游离在主岛之外的、像虫渍一样的斑斑点点；但再进一步放大后，我们可以看到，这些岛屿分子没有两个是完全一样的。总是会出现新的海马品种、新的形态蜷曲的温室植物品种。事实上，没有一个部分是与集合在其他任何放大倍数上的其他任何部分完全一样的。
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12曼德尔布罗特。
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不过，这些游离的岛屿分子的发现也引出了一个相关的问题。曼德尔布罗特集合是连通的，就像一块大陆有着无数狭长的半岛？又或者它是一个点集，就像一个主岛周围散落着无数小岛？这一点并不容易看出来。我们无法从朱利亚集合那里得到任何借鉴，因为朱利亚集合两者兼具，有些是完整形状，有些则是星星点点。一个分形点集具有一个古怪特性：没有哪两个部分是“靠在一起的”，因为每个部分都与其他任何部分间以一段空白；但又没有哪个部分是“孤零零的”，因为只要你找到了一个点集，你就总是能够找到任意靠近的一群点集。13 随着曼德尔布罗特仔细检视自己的图案，他意识到计算机实验无法解决这个基本问题。他进一步放大主岛周围的斑斑点点。有些斑点消失了，但其他斑点则被证明是近乎这个集合的副本。它们看上去是相互独立的，但也有可能其实通过细线连在一起，只是这些线细到无法为这些计算出来的点所构成的网格捕捉到。
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13哈伯德。
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杜阿迪和哈伯德利用一系列巧妙的新数学证明了，每个游离的岛屿分子确实挂在一件串缀它们全体的金缕衣上，挂在一张从主岛的那些细小顶端放射出来的细网上，或者按照曼德尔布罗特的说法，挂在一种“恶魔的聚合物”上。这两位数学家证明了，其中任何一个部分（不论它位于何处，也不论它有多小），当它被计算机的显微镜放大时，都会揭示出一些新的岛屿分子，而其中每一个都与这个集合相似，但又不完全一样。
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