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1.3.2 自然坐标系分解
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通常所谓直角坐标系都是指坐标框架固定的直角坐标系．上面介绍的平面曲线运动的直角坐标系分解，正是在这样一个固定的平面直角坐标框架中的正交分解．本小节将介绍的平面曲线运动的自然坐标系分解，则是在坐标框架将随质点移动而变化的坐标系中的正交分解．从运动类型考察，可以把这种分解看成是将一般的平面曲线运动分解为一系列无穷小圆弧运动，圆运动显然是一类规范的运动．有关内容的展开，也就从圆运动开始．
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质点作平面曲线运动时，它的位置矢量r（t）有两个分量x（t）和y（t）．如果确定x（t）和y（t）的因素是相互独立的，便称质点运动有两个自由度．一般而言，确定质点运动状态独立变量的个数，称为质点运动的自由度．有些情况下，质点被约束在一条确定的平面曲线轨道中运动，两个分运动量x（t）和y（t）之间就只有一个是独立的，这样的运动仅有一个自由度．由轨道y＝Ax＋B约束的直线运动是明显的实例，一个分运动x＝x（t）可以确定另一个分运动y＝y（t）．为了方便，也可以沿直线轨道设置固定的x′坐标轴，一个新的运动参量x′直接对应运动的一个自由度．
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圆约束是另一类常见的轨道约束，将坐标原点取在圆心上，轨道方程可写成
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独立的运动参量可以取成x（t），也可取成y（t）．圆轨道半径R是一个确定的量，质点位置可由相对圆心转过的角θ唯一确定．考虑到圆运动的这一特性，可以改取角θ为独立的运动参量．
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如图1-12所示，设θ＝0的方位线与径向线OM重合，习惯上将圆平面中逆时针方向转角θ取为正，顺时针方向转角θ便为负．θ取2π整数倍的方位仍与径向线OM重合．t到t＋dt时间内无限小转角记为dθ，称
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为角速度．ω带正、负号，取正时表示逆时针方向旋转，取负时表示顺时针方向旋转．ω为常量时，对应匀速圆周运动，ω随t变化时，对应变速圆周运动．对于变速圆周运动，可引入角加速度为
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圆周上任何一点的切线都有一对相反的方向，例如图1-12中的射线PQ+方向和射线PQ-方向，规定与逆时针方向一致的PQ+方向为切线正方向，简称切线方向．在t～t＋dt时间内，质点位移为图1-12中的dr，也常改记成dl，它沿切线方向的投影式为
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图 1-12
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其中dθ单位取弧度（rad）．dl随dθ带有正负号，dl取正时，dl沿切线正方向，dl取负时，dl沿切线负方向．质点速度
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它沿切线方向的投影式为
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v随ω带正负号．v取正时，v沿切线正方向；v取负时，v沿切线负方向．
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圆周运动中v的方向随时间在变化，如果是变速圆周运动，v的大小也会发生变化．从t时刻的v（t）到t＋dt时刻的v（t＋dt），变化可分两步完成．第一步是将速度方向从t时刻的v（t）方向转过dθ角，到新的v（t＋dt）方向，但仍保持原v（t）的大小，这一步是通过图1-13中dv⊥来实现的．第二步是将转过的速度矢量大小变化到应有的v（t＋dt）的大小，变化可以是增大，也可以是减小，图1-13所示为增大的情况，这一步是通过图中的dv∥来实现的．dv⊥与dv∥叠加成总的变化dv，即有