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计算中考虑到k是个不变的矢量,应有dk/dt=0.
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为强调质点位矢r(t)的绝对值是不变量R,可将r(t)改为R(t),将质点无限小位移dl=dr改记为dR,结合dθ和R的方向,很容易看出三者之间有下述关系:
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质点的速度便可表述成
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进而可得加速度
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其中第一项正是a切,第二项便是a心,即有
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可以看出,借助矢量工具处理质点圆周运动,显得更加简洁.需要注意,此处只涉及质点在一个给定圆周上的运动,不存在不同方向ω的叠加问题,因此这里关于ω矢量性的讨论是有欠缺的.
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除了直线和圆轨道,还有其他各种类型的平面曲线轨道.这里先讨论光滑平面曲线轨道,或者分段光滑的平面曲线轨道.光滑并非指物理上没有摩擦的光滑,而是指几何或者说数学上的光滑.用数学分析语言来表述,则是处处连续、可导,而且导数也处处连续.在直观图像方面,光滑曲线没有断处,也没有突然的转折.任意一段光滑平面曲线可以分解为一系列无穷小的曲线段.为测量曲线的长度,无穷小曲线段可逼近地处理成无穷小直线段.这样的逼近,使曲线原有的整体弯曲特征全部丢失.为表现弯曲性,可将无穷小曲线段进一步逼近处理成无穷小圆弧段.平面曲线某处无穷小圆弧属于相应的某个圆,此圆称为曲线在该处的曲率圆,圆半径称为曲率半径,常记为ρ.平面曲线各处ρ一般不相同,ρ小处的弯曲程度高,ρ大处的弯曲程度低.例如图1-15所示平面曲线,在Q2处的ρ2小于在Q1处的ρ1,表现着Q2处比Q1处的弯曲程度高.
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图 1-15
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约束在光滑平面曲线轨道中的质点运动,可相应地分解成一系列无穷小圆弧段运动.任意时刻t,以质点P所在位置为原点,沿着该时刻速度v的方向设置切向方向矢量τ,对着该处曲率圆圆心的方向设置法向方向矢量n,如图1-16所示,这样的坐标系称为自然坐标系(或称为本性坐标系).自然坐标系两个正交基矢τ,n的方向,随着质点的运动而改变.t时刻质点的加速度a可分解成
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图 1-16
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法向加速度an对应圆运动的向心加速度,切向加速度aτ与圆运动的切向加速度自然一致.an起着改变运动方向的作用,它的大小为
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其中ρ是曲率半径.aτ沿τ方向的投影式为
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