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对应的势能曲线如图3-14所示．
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图 3-14
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例4 取一根劲度系数为k，自由长度为L，质量为m的均匀柱形弹性体．
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（1）将其放在光滑水平面上，一端固定，另一端施以外力，使弹性体缓慢伸长∆L1，试求其内含弹性势能Ep1；
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（2）将其竖直悬挂，平衡后计算弹性体伸长量∆L2和内含弹性势能Ep2．
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解 原长L，劲度系数为k的柱形弹性体，如果原长中任意一段l的劲度系数为
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则称为弹性结构处处相同的柱形弹性体．通常约定，若无特殊说明，所给柱形弹性体均按弹性结构处处相同处理．
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设柱形弹性体两端受拉力或压力F，沿长度方向无其他外力，平衡时体内弹性力处处同为F，长度方向形变量为
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任意原长l段的形变量为
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整个弹性体内含的弹性势能为
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质量可略的柱形弹性体，无论水平或竖直放置，也无论沿长度方向处于什么样的运动状态，只要弹性体本身除两端受拉力或压力外，沿长度方向不受其他外力（竖直悬挂时弹性体所受重力可略），那么，弹性体内弹性力仍是处处与两端外力相同，关于∆L，∆l，Ep的上述三式均成立．轻弹簧便属此例．
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质量不可忽略的柱形弹性体水平放置，除两端受力外，沿长度方向无其他外力．平衡时体内弹性力仍是处处与两端外力相同，故关于∆L，∆l，Ep的上述三式仍成立．若弹性体沿长度方向处于变化的运动状态，则因质量和加速度的存在，体内弹性力不再处处相同，关于∆L，∆l，Ep的上述三式不再成立．这样的弹性体若是竖直悬挂，下端不施外力，平衡时也会因重力的存在而使体内弹性力从下端的零值单调递增到上端的mg值，其中m是弹性体质量．于是，关于∆L，∆l，Ep的上述三式也不再成立．质量不可忽略的弹簧便是这样的弹性体．
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（1）缓慢伸长可处理为时时平衡，据上所述，有
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（2）弹性体处于原长时，将悬挂点记为x＝0，弹性体沿长度方向各部位均可用坐标x（0≤x≤L）标记．悬挂平衡后，取x到x＋dx段，其劲度系数为
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