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例3 如果质点同时参与空间若干个方向线上的同频率简谐振动，各振动量的零点位置重合，那么质点合运动轨道必定是空间椭圆（包括圆和直线段）．
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证 以振动量零点位置作为原点O，沿任一方向线设置坐标轴，原各个方向线上的简谐振动在此坐标轴上的合运动是同频率的简谐振动，它们的合运动仍是一个同频率的简谐振动．
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在过O点的任一平面上设置正交的Oxy坐标系，原各个方向线上的简谐振动在x，y轴上的分运动之和都是同频率的简谐振动，质点在xy平面上的合运动便是简谐式椭圆运动（即由两个正交的简谐振动合成的椭圆运动）．过O点再设置与Oxy平面垂直的z轴，质点沿z轴方向的运动也是同频率的简谐振动．于是质点在Oxy平面上的简谐式椭圆运动与z轴上简谐振动的合运动，便是质点的空间曲线运动．
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如果Oxy平面上的椭圆运动实为线振动，这一线振动与z轴上简谐振动的合运动便是椭圆运动，质点的空间运动轨道便是空间椭圆（包括圆和直线段）．
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再设Oxy平面上的椭圆运动不是线振动，一般情况下相对Oxy坐标系的轨道是一个斜椭圆．此时，可在Oxy坐标平面上借助坐标轴的旋转关联，建立一个新的Oxy坐标框架，使得该椭圆相对新的Oxy坐标系成为一个正椭圆，且总可通过时间零点的调整，让x，y方向的简谐振动分别为
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再将质点在z方向的简谐振动表述为
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过O点沿某方向设置直线OM，它与x，y，z轴夹角分别记为α，β，γ，应有
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质点在OM方向上的合运动为
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如果存在α，β，γ解，使得质点在OM直线上的合运动为零，即有
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那么质点在与OM直线垂直平面上的运动便是质点的空间曲线运动．据前所述，质点在此平面上的运动也是简谐式椭圆运动，因此质点的空间运动轨道必定是空间椭圆．
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③式对任何t都成立的条件是②式中cosωt，sinωt前面的系数均为零，即有
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联合①式，可得
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其中
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