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这一定义方式实为按第1列递归展开方式，规则如下：
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零阶行列式的运算结果为1．
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将n阶行列式记为An，当n≥1时，顺次取An的第1列中第i（i＝1，2，…，n）个元素ai1，删去第1列和第i行，余下（n－1）2个元素组成（n－1）阶行列式，记为则有
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行列式有诸多数学性质，其中之一是行、列可全置换性．将n阶行列式中的第i＝1，2，…，n行元素依次改排为第j＝1，2，…，n列元素（此时第j＝1，2，…，n列元素自然地改排成第i＝1，2，…，n行元素），组成新的n阶行列式，其运算结果与原n阶行列式运算结果相同．例如：
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据行、列可全置换性，不难导出行列式按第1行递归展开的规则，此处从略．
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A.2 应用
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线性代数方程组解式可用行列式简洁地表述．例如对含有3个未知量x1，x2，x3的线性代数方程组：
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引入分母行列式
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和分子行列式
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则在D≠0时，可以证明方程组的解能表述为
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含有n个未知量的线性代数方程组解，可类似地写出．
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行列式在数学其他方面和在物理中的某些应用，后面陆续给出．
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例1 导出3阶行列式的最后结果．
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解 接前述内容，有