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图 C-3
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逐渐缩短∆x,Q点便向P点靠近.∆x→0时,Q点无限靠近P点,P,Q间连线成为函数曲线在P处的切线,角称为切线与x轴之间的夹角,tan便是切线斜率,即有
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这可以叙述为:函数在x处的导数等于函数曲线在x处切线的斜率.函数导数的几个实例如下:
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导数有一些重要性质,举例如下:
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设y1,y2分别是x的函数,A1,A2是常量,那么
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(1)若y=A1y1+A2y2, 则
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(2)若y=y1y2, 则
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(3)若y=y1/y2, 则
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导数运算中常用的公式(Ay)′=Ay′已包含在第(1)式中,有了这一常用公式,上面第(2)、(3)式中不必再引入A1,A2常量.(2)式的证明简述如下:
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正如开始指出的,这里讨论的范围都是函数连续区域,很容易理解必有
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即得第(2)式.对于第(3)式,可将y=y1/y2改写为
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据第(2)式有
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