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若y′(x)>0,则dy>0,y随x的增大而增大;
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若y′(x)<0,则dy<0,y随x的增大而减小;
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若y′(x)=0,则dy=0,在无限靠近x处,y不随x变化.
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讨论图C-4所示两种情况,函数y(x)在x0点都有y′(x0)=0.图C-4(a)中从x0点左侧近邻到x0点右侧近邻(其间包括x0点),曲线的切线斜率单调下降.若引入z=y′,则z随x增大而减小.取dx>0,有
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图 C-4
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因此
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y″(x)<0,
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x0点也在此范围内,即有
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1700991882
y″(x0)<0.
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此处讨论的区域是x0两侧邻域,因为在离x0点较远处函数曲线可能会有新的起伏.图C-4(a)中x0点的y值与其邻域相比为最大,称x0点为极大值点.
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图C-4(b)中从x0点左侧到x0点右侧近邻(其间包括x0点),曲线的切线斜率单调上升,即z=y′随x增大而增大.取dx>0,有
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1700991889
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1700991891
因此
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1700991893
y″(x)>0,
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1700991895
x0点也在此范围内,即有
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1700991897
y″(x0)>0.
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1700991899
图C-4(b)中x0点的y值与其近邻相比为最小,称x0为极小值点.
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综上所述,有
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若y′(x0)=0,y″(x0)<0,则x0点是函数的一个极大值点;
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若y′(x0)=0,y″(x0)>0,则x0点是函数的一个极小值点.
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极大值点和极小值点合称为极值点.
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需要指出,上面给出的是两种常见类型的极值点,还有其他类型的极值点.例如x0=0点分别是y=-x4和y=x4的极大值点和极小值点,它们都对应y′(x0)=0,y″(x0)=0,不属于上述两种类型的极值点.另一方面,对于y=-x3和y=x3,在x0=0点,虽然也有y′(x0)=0和y″(x0)=0,但x0=0点并不是它们的极值点,而是数学上称为拐点的点.这些方面内容的讨论,高等数学课程中会详细展开.
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