1700991860
若y′（x）＞0，则dy＞0，y随x的增大而增大；
1700991861
1700991862
若y′（x）＜0，则dy＜0，y随x的增大而减小；
1700991863
1700991864
若y′（x）＝0，则dy＝0，在无限靠近x处，y不随x变化．
1700991865
1700991866
讨论图C-4所示两种情况，函数y（x）在x0点都有y′（x0）＝0．图C-4（a）中从x0点左侧近邻到x0点右侧近邻（其间包括x0点），曲线的切线斜率单调下降．若引入z＝y′，则z随x增大而减小．取dx＞0，有
1700991867
1700991868
1700991869
1700991870
1700991871
1700991872
1700991873
1700991874
图 C-4
1700991875
1700991876
因此
1700991877
1700991878
y″（x）＜0，
1700991879
1700991880
x0点也在此范围内，即有
1700991881
1700991882
y″（x0）＜0．
1700991883
1700991884
此处讨论的区域是x0两侧邻域，因为在离x0点较远处函数曲线可能会有新的起伏．图C-4（a）中x0点的y值与其邻域相比为最大，称x0点为极大值点．
1700991885
1700991886
图C-4（b）中从x0点左侧到x0点右侧近邻（其间包括x0点），曲线的切线斜率单调上升，即z＝y′随x增大而增大．取dx＞0，有
1700991887
1700991888
1700991889
1700991890
1700991891
因此
1700991892
1700991893
y″（x）＞0，
1700991894
1700991895
x0点也在此范围内，即有
1700991896
1700991897
y″（x0）＞0．
1700991898
1700991899
图C-4（b）中x0点的y值与其近邻相比为最小，称x0为极小值点．
1700991900
1700991901
综上所述，有
1700991902
1700991903
若y′（x0）＝0，y″（x0）＜0，则x0点是函数的一个极大值点；
1700991904
1700991905
若y′（x0）＝0，y″（x0）＞0，则x0点是函数的一个极小值点．
1700991906
1700991907
极大值点和极小值点合称为极值点．
1700991908
1700991909
需要指出，上面给出的是两种常见类型的极值点，还有其他类型的极值点．例如x0＝0点分别是y＝-x4和y＝x4的极大值点和极小值点，它们都对应y′（x0）＝0，y″（x0）＝0，不属于上述两种类型的极值点．另一方面，对于y＝-x3和y＝x3，在x0＝0点，虽然也有y′（x0）＝0和y″（x0）＝0，但x0＝0点并不是它们的极值点，而是数学上称为拐点的点．这些方面内容的讨论，高等数学课程中会详细展开．