1700991880
x0点也在此范围内，即有
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1700991882
y″（x0）＜0．
1700991883
1700991884
此处讨论的区域是x0两侧邻域，因为在离x0点较远处函数曲线可能会有新的起伏．图C-4（a）中x0点的y值与其邻域相比为最大，称x0点为极大值点．
1700991885
1700991886
图C-4（b）中从x0点左侧到x0点右侧近邻（其间包括x0点），曲线的切线斜率单调上升，即z＝y′随x增大而增大．取dx＞0，有
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1700991888
1700991889
1700991890
1700991891
因此
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1700991893
y″（x）＞0，
1700991894
1700991895
x0点也在此范围内，即有
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1700991897
y″（x0）＞0．
1700991898
1700991899
图C-4（b）中x0点的y值与其近邻相比为最小，称x0为极小值点．
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1700991901
综上所述，有
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1700991903
若y′（x0）＝0，y″（x0）＜0，则x0点是函数的一个极大值点；
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1700991905
若y′（x0）＝0，y″（x0）＞0，则x0点是函数的一个极小值点．
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极大值点和极小值点合称为极值点．
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1700991909
需要指出，上面给出的是两种常见类型的极值点，还有其他类型的极值点．例如x0＝0点分别是y＝-x4和y＝x4的极大值点和极小值点，它们都对应y′（x0）＝0，y″（x0）＝0，不属于上述两种类型的极值点．另一方面，对于y＝-x3和y＝x3，在x0＝0点，虽然也有y′（x0）＝0和y″（x0）＝0，但x0＝0点并不是它们的极值点，而是数学上称为拐点的点．这些方面内容的讨论，高等数学课程中会详细展开．
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例8 找出y＝Ax2＋Bx＋C和y＝sinx的全部极值点．
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解 对y＝Ax2＋Bx＋C，由
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y′＝2Ax＋B，y″＝2A，
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可知
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x0＝-B／2A，y′（x0）＝0，y″（x0）＝2A．
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因此
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1700991923
若A＞0，则y′（x0）＝0，y″（x0）＞0，x0＝-B／2A为极小值点；
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1700991925
若A＜0，则y″（x0）＝0，y″（x0）＜0，x0＝-B／2A为极大值点．
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1700991927
对y＝sinx，由
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1700991929
