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1700991964 相当于把y(x)表述成(x-x0)的零次方项与一次方项的线性叠加,这仅在x无限靠近x0时才成立.如果x与x0之间的差量∆x未必是无穷小量,即取一般的
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1700991969 那么可以猜想到也许有如下的幂级数展开:
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1700991974 这一幂级数称为泰勒(Taylor)级数.若有这样的展开,令x=x0,即得A0=y(x0).展开式两边先对x求导,再取x=x0,可得A1=y′(x0).如此进行下去,相继可得
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1700991979 并非所有函数都可展开成泰勒级数,因为y(x)是有限的,所以至少要求
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1700991984 事实上还有更严格的要求,高等数学课程中会专门讨论.
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1700991986 函数y(x)若能在x0两侧某范围内展开成泰勒级数,便称这一范围为y(x)的收敛区域.例如,数学上可以证得:
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1700991991 x0=0的泰勒级数,也称为马克劳林(Maclaurin)级数.
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1700991993 由复数自变量z构成的某些复变函数F(z),也可展开成与上面形式相同的泰勒级数和马克劳林级数.
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1700991995 例9 导出y=ex,y=cosx,y=sinx的马克劳林级数.
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1700991997 解 (1)y=ex,有
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1700992002 (2)y=cosx,有
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1700992007 (3)y=sinx,有
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