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例10 导出欧拉公式e1x＝cosx＋isinx，其中i为单位虚数，x为实变量．
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解 仿照ex的马克劳林级数展开，考虑到
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可将e1x展开成下述马克劳林级数：
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对照cosx，sinx的马克劳林展开，即得
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物理学中有诸多矢量及矢量间的标积和矢积，理论展开中自然会涉及这些量的导数．例如力学中运动质点的位矢r随时间t而变化，即r是t的函数．r随t的变化率便是质点运动速度v，有
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这就涉及矢量的导数．
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任意矢量A（t）可分解为
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其中i，j，k均不随t变化．A对t的导数，或者说A随t的变化率为
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三个分子项分别是一元函数Ax（t），Ay（t），Az（t）的微分量dAx（t），dAy（t），dAz（t），即有
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可见，矢量导数由各个分量导数构成．
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例如，将质点位矢r分解成
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速度便是
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