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例如由理想气体的上述状态方程,可得
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D.2 线积分、面积分和体积分
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物理学中有些标量是空间位置r的函数,例如非均匀物质的密度ρ,静电场中的电势U都是这样的量.这类标量与位置之间的函数关系可一般地记作
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(r)或(x,y,z),
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它是一个由空间三个独立坐标量x,y,z构成的三元函数.某些情况中(例如表征xy平面上的物理量或x坐标轴上的物理量时),可降为二元或一元函数.
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物理学中也有些矢量是r的函数,例如行星在太阳周围不同位置受到的太阳万有引力F、静电场中的电场强度E都是这样的量.这类矢量与位置之间的函数关系可一般地记作
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A(r)或A(x,y,z).
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它可分解成
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三个分量
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Ax(r)或Ax(x,y,z),
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Ay(r)或Ay(x,y,z),
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Az(r)或Az(x,y,z),
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均是x,y,z的标量性三元函数.某些情况中,它们也可降为二元或一元函数.
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将图D-1中a到b的一段空间曲线(包括直线)L,分解为一系列无穷短的线段,称为线元,长度一般地记成dl.线元中各点的位置差异可略,统记为(x,y,z).该位置处某标量函数(x,y,z)与dl的乘积,从a到b沿曲线L的叠加,即
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图 D-1
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称为标量(x,y,z)沿L的线积分.若取=1,这一线积分所得便是曲线L的长度.如果L是一条闭合曲线(a与b重合),这样的积分特别地写成
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