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∮L(x,y,z)dl.
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图D-2中从线元始端到终端的位置移动矢量dl,也可称为曲线L从a到b的线元矢量.各dl所在位置(x,y,z)若均有矢量函数A(x,y,z),那么A与dl的标积,从a到b沿曲线L的叠加,即
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图 D-2
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称为矢量A(x,y,z)沿L的标积性线积分.前文图B-6所示力F对质点P沿曲线L作的功,是此类积分的一个实例.如果L是一条闭合曲线,这样的积分特别地写成
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∮LA(x,y,z)·dl.
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将一个曲面(包括平面)S,如图D-3所示,分割成一系列线度无穷短的小片,称为面元,面积一般地记成dS.在面元所在处引一个与面元垂直的方向矢量n,规定曲面的某一侧为内侧,另一侧为外侧,n的方向便定为从内侧指向外侧,称
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dS=dSn
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图 D-3
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为面元矢量.dS所在位置的标量函数(x,y,z)与dS的乘积在全S面上求和,即
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称为标量(x,y,z)在S面上的面积分.这种求和显然是在曲面的两个方向上进行(例如从左到右的方向和从上到下的方向,就如电子束在荧光屏上的二维扫描),数学上将它改记为
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两个积分号是指两个方向上的积分,称为二重积分.若取=1,这一面积分所得便是曲面S的面积.dS所在位置的矢量函数A(x,y,z)与dS的标积在全S面上求和,即
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称为矢量A(x,y,z)在S面上的标积性面积分.如果S是一个闭合曲面,通常将S包围的空间区域取为S面的内侧,外空间区域取为外侧.也有例外情况,在有关的数学课和物理课上会涉及.对闭合曲面,上述两种积分特别地写成
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