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我们先验证这个公式是否成立。根据平方差公式，我们发现[ (A+d) (A–d)] +d2=（A2–d2） +d2=A2。因此，无论A和d的值是多少，该公式都成立。在实际应用中，A是平方运算的底数，d是该数与其最接近的简便数字之差。例如，在求97的平方数时，我们取d= 3，于是：
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972= (97 + 3)(97 – 3) + 32
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= (100×94) + 9
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= 9 409
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下面，我们通过图形来验证平方差公式是否成立。从下图可以看出，面积为x2–y2的几何图形经过切割、拼接之后，可以变成一个面积为(x+y)(x–y)的长方形。
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我们在第1章学过计算彼此接近的两个数字乘积的简便方法。当时，我们强调这两个数字都接近100，或者首位数相同。一旦理解了这个算法背后的代数原理，我们就可以进一步扩大它的应用范围。下面，我们讨论就近取整法的代数原理。
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(z+a) (z+b) =z(z+a+b) +ab
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这个公式之所以成立，是因为(z+a) (z+b) =z2+zb+za+ab，从前三项中提取z，即可得到上述公式。尽管这些变量取任何值时,该公式都成立，但我们通常会为z选择个位数是0的值。例如，在解43×48这道题时，令z= 40，a= 3，b= 8。于是：
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43×48 = (40 + 3) (40 + 8)
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= 40 (40 + 3 + 8)+ (3×8)
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= 40×51 +3×8
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= 2 040 + 24
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= 2 064
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注意，原题中的两个乘数之和为43 + 48 = 91，而简便计算中的两个乘数之和也是40 + 51 = 91。这并不是巧合，因为根据代数运算的结果，原来的两个乘数之和为(z+a) + (z+b) = 2z+a+b，简便运算中两个乘数z与z+a+b的和也是2z+a+b。根据这个代数原理，我们发现向上取整也可以降低运算的难度。例如，在解43×48这道题时，也可以令z= 50，a= –7，b= –2，把其变成50×41。（只要知道43 + 48 = 91 = 50 + 41，就可以方便地确定41这个数值。）于是：
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43×48 = (50 – 7) (50 – 2)
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= (50×41) + (–7)×(–2)
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= 2 050 + 14
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= 2 064
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在第1章中，我们利用这个方法计算两个略大于100的数字的乘积。其实，计算两个略小于100的数字的乘积时，这个方法同样有效。例如：
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96×97 = (100 – 4) (100 – 3)
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= (100×93) + ( – 4)×( – 3)
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= 9 300 + 12