打字猴:1.700996386e+09
1700996386 由于= – 0.618 03…,它的值在 –1和0之间,如果我们对它不断地进行升幂处理,它就会越来越接近0。事实上,我们可以证明,对于任意的n≥0,我们都可以通过计算gn/的值,然后取最接近这个值的整数,来得到Fn。不信的话,请你拿出计算器,自己动手算算看。如果g取近似值1.618,升到10次幂就是122.966…(接近于123)。然后用这个数字除以(约等于2.236),结果是54.992。四舍五入后,就会得到F10= 55,这与我们已知的情况一致。如果取g20,即15 126.999 93,它除以的商是6 765.000 03,因此F20= 6 765。利用计算器计算g100/,就会得到F100,约为3.54×1020。
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1700996388 在我们刚才的计算过程中,我们似乎把g10和g20视为整数来处理,这是为什么呢?请仔细观察“卢卡斯数列”(Lucas Sequence):
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1700996390 1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,322,521…
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1700996392 卢卡斯数列是以爱德华·卢卡斯(Édouard Lucas,1842—1891)的名字命名的。这位法国数学家发现了该数列与斐波那契数列的众多属性,其中包括我们在前面讨论的最大公因数属性,而且他是把1,1,2,3,5,8…命名为斐波那契数列的第一人。卢卡斯数列有它自己的比内公式(比斐波那契数列比内公式简单一些),即:
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1700996397 也就是说,对于n≥1,Ln是非常接近gn的整数。(这与我们在前面看到的内容是一致的,因为g10≈123 =L10。)从下表可以看出,斐波那契数列与卢卡斯数列还有其他的关系。
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1700996402 斐波那契数列、卢卡斯数列及它们的关系
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1700996404 有的规律是显而易见的。例如,把斐波那契数列中的某个数字的左右“邻居”相加,就会得到卢卡斯数列中的某个数字:
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1700996406 Fn–1+Fn+1=Ln
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1700996408 把卢卡斯数列中某个数字的左右“邻居”相加,和是斐波那契数列中的某个数字的5倍:
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1700996410 Ln–1+Ln+1= 5Fn
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1700996412 将斐波那契数列中的某个数字与对应的卢卡斯数列中某个数字相乘,就会得到斐波那契数列中的另一个数字!
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1700996414 FnLn=F2n
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1700996416 延伸阅读
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1700996419 我们利用比内公式和简单的代数运算[比如,(x–y)(x+y) =x2–y2],证明上面给出的最后一种关系。令h= (1–)/2,斐波那契数列和卢卡斯数列的比内公式可以分别表述为:
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1700996424 把这两个表达式相乘,就会得到:
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1700996429 那么,“黄金比例”这个名称又是从哪里得来的呢?它来自“黄金矩形”(golden rectangle)。如下图所示,该矩形的长宽之比正好是g= 1.618 03…。
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1700996434 黄金矩形可以产生同样具有黄金比例关系的小矩形
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