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由于= – 0.618 03…，它的值在 –1和0之间，如果我们对它不断地进行升幂处理，它就会越来越接近0。事实上，我们可以证明，对于任意的n≥0，我们都可以通过计算gn/的值，然后取最接近这个值的整数，来得到Fn。不信的话，请你拿出计算器，自己动手算算看。如果g取近似值1.618，升到10次幂就是122.966…（接近于123）。然后用这个数字除以（约等于2.236），结果是54.992。四舍五入后，就会得到F10= 55，这与我们已知的情况一致。如果取g20，即15 126.999 93，它除以的商是6 765.000 03，因此F20= 6 765。利用计算器计算g100/，就会得到F100，约为3.54×1020。
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在我们刚才的计算过程中，我们似乎把g10和g20视为整数来处理，这是为什么呢？请仔细观察“卢卡斯数列”（Lucas Sequence）：
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1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，199，322，521…
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卢卡斯数列是以爱德华·卢卡斯（Édouard Lucas，1842—1891）的名字命名的。这位法国数学家发现了该数列与斐波那契数列的众多属性，其中包括我们在前面讨论的最大公因数属性，而且他是把1，1，2，3，5，8…命名为斐波那契数列的第一人。卢卡斯数列有它自己的比内公式（比斐波那契数列比内公式简单一些），即：
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也就是说，对于n≥1，Ln是非常接近gn的整数。（这与我们在前面看到的内容是一致的，因为g10≈123 =L10。）从下表可以看出，斐波那契数列与卢卡斯数列还有其他的关系。
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斐波那契数列、卢卡斯数列及它们的关系
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有的规律是显而易见的。例如，把斐波那契数列中的某个数字的左右“邻居”相加，就会得到卢卡斯数列中的某个数字：
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Fn–1+Fn+1=Ln
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把卢卡斯数列中某个数字的左右“邻居”相加，和是斐波那契数列中的某个数字的5倍：
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Ln–1+Ln+1= 5Fn
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将斐波那契数列中的某个数字与对应的卢卡斯数列中某个数字相乘，就会得到斐波那契数列中的另一个数字！
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FnLn=F2n
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延伸阅读
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我们利用比内公式和简单的代数运算［比如，(x–y)(x+y) =x2–y2］，证明上面给出的最后一种关系。令h= （1–）/2，斐波那契数列和卢卡斯数列的比内公式可以分别表述为：
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把这两个表达式相乘，就会得到：
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那么，“黄金比例”这个名称又是从哪里得来的呢？它来自“黄金矩形”（golden rectangle）。如下图所示，该矩形的长宽之比正好是g= 1.618 03…。
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黄金矩形可以产生同样具有黄金比例关系的小矩形
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