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用1×2的双方块覆盖8×8的棋盘
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他说：“非常好！现在，我们把右下角和左上角的这两个方格去掉。”说完，他在这两个方格上各放了一枚硬币，表示这两个区域不存在。“你可以用31个双方块覆盖棋盘上剩下的62个方格吗？”
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去掉右下角和左上角的两个方格之后，双方块可以盖住整个棋盘吗？
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“也许可以吧。”我答道。但是，无论我怎么摆放，双方块都无法盖住整个棋盘。于是我想，这个任务是不是不可能完成呢？
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“如果你觉得这个任务无法完成，你如何证明？”朋友问道。但是，摆放双方块的方法有无数种，如果我不一一尝试，怎么能证明这是一个不可能完成的任务呢？这时候，他给了我一点儿提示：“观察一下棋盘上的颜色。”
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颜色？这与颜色有什么关系？我突然想明白了。由于去掉的两个方格都是浅色的，因此棋盘上还剩下32个深色方格和30个浅色方格。每个双方块正好覆盖一个浅色方格和一个深色方格，所以用31个双方块不可能盖住整个棋盘。太棒了！
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延伸阅读
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如果你喜欢上面的证明过程，那么你肯定也会喜欢下面这个证明过程。俄罗斯方块游戏中有7种形状各异的板块，有时候它们分别被称为I、J、L、O、Z、T、S。
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这7个板块可以拼成一个4×7的长方形吗？
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由于每个板块都包含4个1×1方块，因此我们自然想知道7个板块是不是可以拼成一个4×7的长方形，拼装的时候可以翻转或旋转这些板块。事实证明，这个任务是无法完成的。如何证明它是不可能的呢？如下图所示，把4×7长方形涂成14个浅色方格和14个深色方格。
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请注意，除了T以外，其他的板块无论摆放到哪个位置上，都会覆盖两个深色方格和两个浅色方格。而在T覆盖的4个方格中，有三个方格的颜色一样。因此，无论其余6个板块怎么摆放，它们都会覆盖12个浅色方格和12个深色方格。剩余的2个浅色方格和2个深色方格只能用板块T来覆盖，而这是不可能的。
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如果我们认为某个数学命题是真实的，怎样才能证明它的确是真实的呢？通常，先要对我们所研究的数学对象进行描述。例如，我们说整数集合
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…，–2，–1，0，1，2，3，…
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包含所有整数：正数、负数和零。
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之后，我们要对这些对象做出一些显而易见的假设。例如，“两个整数的和或积一定是整数”。（下一章将讨论几何学，届时我们会做出这样的假设：“对于任意两点，都可以画出一条经过这两点的直线”。）这些显而易见的命题叫作“公理”（axioms）。在这些公理的基础上，通过逻辑推理和代数运算，我们经常可以推导出一些正确的命题，叫作“定理”（theorems）。定理有时候并不是显而易见的。阅读本章，你可以学会证明数学命题的基本方法。
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我们先来证明一些很容易取信于人的定理。第一次听到“两个偶数的和是偶数”、“两个奇数的乘积是奇数”等命题时，我们通常会默默地举出几个实例，检验之后才会断定这个命题是真实的或者有道理的。你有时甚至会想，这个命题太显而易见了，都可以当作公理使用了。但是，我们没必要把它作为公理，因为利用已知的公理，可以证明这个命题为真。在证明偶数和奇数的某些属性时，我们需要先弄明白它们的含义。
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“偶数”是2的倍数。用代数语言来表述的话，就是如果n= 2k，k是整数，那么我们说n是偶数。0是不是偶数呢？是偶数，因为0 = 2×0。现在，我们可以证明“两个偶数的和是偶数”这个命题了。
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定理：如果m和n是偶数，那么m+n也是偶数。
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这是一个典型的“如果—那么”定理。在证明这种命题时，我们通常会对“如果”部分做出假设，然后通过逻辑和代数运算，证明可以根据假设得出“那么”部分。在本例中，我们假设m和n是偶数，希望得出m+n也是偶数的结论。
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