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证明：假设m和n是偶数，因此m= 2j，n= 2k，其中j和k都是整数，进而可以得出：
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m+n= 2j+ 2k= 2 (j+k)
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由于j+k是整数，因此m+n是2的倍数，从而证明m+n必然是偶数。
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注意，上述证明的依据是，两个整数的和（即本例中的j+k）也必然是整数这条公理。在证明复杂的命题时，我们不仅需要依赖一些基本公理，还可能需要利用已经被证明的定理。数学界的一个常见做法就是在证明结束之后，在最后一行的右侧页边添加一个标识，例如□、■或者Q. E .D。Q. E. D是拉丁语“quod erat demonstrandum”的缩写，意思是“证明完毕”。（如果你愿意，你也可以把它看作英语“quite easily done”的缩写，意思是“太简单了”。）如果我认为某个证明过程特别美妙，我就会在结尾处画一个笑脸符号（）。
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在证明了“如果—那么”定理之后，数学家们开始考虑逆命题的真实性。逆命题就是把原命题的“如果”和“那么”这两个部分对调之后得到的命题。上例的逆命题是：“如果m+n是偶数，那么m和n都是偶数”。只需举出一个“反例”（counterexample），就能很容易地证明这是一个假命题。对于这个命题而言，我们可以举一个非常简单的反例：
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1 + 1 = 2
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这个例子表明，即使两个数不是偶数，它们的和也可以是偶数。
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下面讨论一条关于“奇数”的定理。奇数是指不是2的倍数的数字。如果用2除以一个奇数，余数一定是1。用代数语言来表述，就是如果n= 2k+ 1，k是整数，那么n是奇数。有了这个定义之后，我们只需通过简单的代数运算，就能证明“两个奇数的乘积是奇数”这个命题。
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定理：如果m和n是奇数，那么mn也是奇数。
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证明：假设m和n是奇数。那么m= 2j+ 1，n= 2k+ 1，j、k是整数。根据FOIL法则：
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mn= (2j+ 1) (2k+ 1) = 4jk+ 2j+ 2k+ 1 = 2 (2jk+j+k) + 1
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由于2jk+j+k是整数，因此mn是“某个整数的2倍 + 1”，从而证明mn是奇数。 □
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它的逆命题“如果mn是奇数，那么m和n都是奇数”是否为真呢？这个命题也是真命题，我们可以利用“反证法”（proof by contradiction）来证明。反证法是指，如果我们否定结论（“m、n都是奇数”），我们之前做出的假设就不成立。因此，从逻辑上讲，结论必定是成立的。
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定理：如果mn是奇数，那么m和n都是奇数。
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证明：与结论相反，我们假设m或n是偶数（或同为偶数）。这两个数字中到底哪一个是偶数无关紧要，我们假定m是偶数，也就是说，m= 2j，j为整数。那么，乘积mn= 2jn也是偶数，这与我们之前假设mn是奇数的前提相悖。
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如果某个命题和它的逆命题都是真命题，数学界就称之为“当且仅当定理”（if and only if theorem）。我们前面已经完成了下述定理的证明工作。
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定理：当且仅当mn是奇数时，m和n都是奇数。
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12堂魔力数学课 [:1700993737]
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12堂魔力数学课 有理数和无理数
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上述定理不会让你感到吃惊，它们的证明过程也非常直接。只在证明某些不太直观的定理时，我们才可以体会到其中的乐趣。到目前为止，我们接触的都是整数，现在可以进阶到分数的相关定理的证明了。“有理数”（rational number）是指可以表示为分数形式的数字。更准确的说法是，如果r=a/b，其中a和b是整数（且b≠ 0），那么我们说r是有理数。不能表示为分数形式的数字叫作“无理数”（irrational number）。（你或许听说过，数字π= 3.141 59…就是无理数，我们将在本书第8章对它进行详细介绍。）
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在介绍下一个定理之前，我们有必要回顾一下分数的加法。如果分数的分母相同，进行加法运算时就极为简单。例如：
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否则，我们必须先把它们化成分母相同的形式，再进行加法运算。例如：
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