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一般而言,在计算两个分数a/b和c/d的和时,我们可以为它们赋予一个公分母,例如:
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接下来,我们就可以证明有理数的一些简单属性了。
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定理:两个有理数的平均数仍然是有理数。
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证明:令x和y为有理数,必然存在a、b、c、d,满足x=a/b,y=c/d。所以,x和y的平均数为:
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由此可见,该平均数是一个分数,且分子、分母均为整数。因此,有理数x和y的平均数也是有理数。
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我们想一想,这个定理有什么含义?它的意思是,对于任意两个有理数,即使它们非常接近,我们也总能找出一个位于它们之间的有理数。也许你忍不住会想,所有的数字都是有理数(古希腊人也曾有这样的想法)。但是,令人吃惊的是,这个想法是错误的。我们以为例,这个数字的小数形式是1.414 2…。现在,我们有很多方法,用分数来近似地表示。例如,近似等于10 / 7或者1 414 /1 000,但是这些分数的平方都不会正好等于2。是不是因为我们找得还不够仔细呢?下面这个定理告诉我们,无论我们怎么努力,都会无功而返。该定理的证明采用了反证法,关于无理数的定理通常都会采用这种证明方法。我们知道,所有分数都可化简至最简分数,即分子和分母没有大于1的公因数。下面的证明过程就将利用分数的这个特点。
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定理:是无理数。
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证明:我们假设是有理数,则必然存在正整数a和b,满足:
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=a/b
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其中,a/b是最简分数。等式两边同时进行平方运算,就有:
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2 =a2/b2
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也就是说,a2= 2b2。由此可知,a2必然是偶数。如果a2是偶数,那么a也必然是偶数(前文中已经证明,如果a是奇数,那么其自乘的结果也必然是奇数)。因此,a= 2k,k是整数。将它代入上面的等式,就有:
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(2k)2= 2b2
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4k2= 2b2
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b2= 2k2
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因此,b2是偶数。既然b2是偶数,b也必然是偶数。但是,a和b都是偶数,这与a/b是最简分数的前提相矛盾。因此,是有理数这个假设不成立,这证明是无理数。
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