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单凭逻辑的力量，就证明了一个非常令人吃惊的结果，所以我十分喜欢这个证明过程（画了个笑脸）。本书第12章将告诉我们，无理数非常多。事实上，从严格意义上讲，绝大多数的实数都是无理数，尽管我们在日常生活中接触的大多是有理数。
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上面这条定理有一个有趣的“推论”（corollary），推论是指由某条定理推导得出的定理。这个推论的推导过程利用了“指数定律”（law of exponentiation），即对于任意整数a、b、c：
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（ab）c=abc
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例如，（53）2= 56，这是有道理的，因为：
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（53）2= (5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5) = 56
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推论：存在无理数a和b，使得ab是有理数。
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尽管现在我们只知道一个无理数，即，但足以证明这条定理，这真是太棒了！下面的证明过程可以告诉你符合条件的a和b是存在的，但不能告诉你它们的值分别是多少。我们把这种证明称为“存在性证明”（existence proof）。
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证明：我们知道是无理数，我们来看这个数字，它是不是有理数呢？如果是，那么令a=，b=，命题就得到了证明。如果答案是否定的，就说明我们知道的无理数又多了一个，即。令a=，b=，根据指数定律，就可以得到：
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答案是一个有理数。因此，无论是有理数还是无理数，我们都可以找到a、b，使得ab是有理数。
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存在性证明这种证明方法通常很巧妙，但它有时也存在不尽如人意的地方，无法告诉你想要了解的所有信息。（如果你感到好奇，我可以告诉你是无理数，但这不属于本章讨论的范围。）
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更能让人心满意足的证明方法是“构造性证明”（constructive proof），因为它告诉你的信息正好是你想要了解的信息。例如，我们可以证明所有的有理数a/b都是有尽或者循环小数（这是因为，随着除法运算的进行，b除过的数字必然会再次出现，并被b除）。但是，它的反命题是否正确？有尽小数必然是有理数，例如，0.123 58 =12 358 / 100 000。循环小数呢？例如，0.123 123 123…一定是有理数吗？答案是肯定的。下面这种巧妙的方法可以告诉我们有理数到底是什么。我们把这个神秘数字设为w，于是：
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w= 0.123 123 123…
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两边同时乘以1 000，上式就会变成：
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1 000w= 123.123 123 123…
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用第二个等式减去第一个等式，就会得到：
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999w= 123