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w==
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我们换另一个循环小数再试一试。这一次的循环小数并不是从小数点后第一位就开始循环，比如，如何将小数0.833 33…表示成分数形式呢？先令：
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x= 0.833 33…
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两边同时乘以100：
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100x= 83.333 3…
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再同时除以10：
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10x= 8.333 3…
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从100x中减去10x，小数点后面的所有项都抵消了：
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90x= (83.333 3…) – (8.333 3…) = 75
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x==
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运用构造性证明这种证明方法，我们可以证明当且仅当某个数字的小数形式是有尽或者循环小数时，该数才是有理数。如果某数的小数形式是不循环的无尽小数，例如：
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v= 0.123 456 789 101 112 131 415…
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这个数字就是无理数。
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12堂魔力数学课 [:1700993738]
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12堂魔力数学课 棋盘覆盖问题与归纳性证明
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我们再回过头去，证明与正整数相关的一些定理。在本书第1章，通过观察：
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我们先提出前n个奇数的和是n2的命题，然后着手证明这个命题。当时，我们使用的是巧妙的“组合性证明”（combinatorial proof）法，即通过两种方法统计棋盘的方格数，证明了这个命题的真实性。接下来，我们用一种无须巧妙构思的方法来证明这个命题。假设我告诉你（也许你本就深信不疑）前10个奇数的和1 + 3 + … + 19是102，即100，如果你表示同意，那么再加上第11个奇数（21），和毫无疑问是121，也就是112。换句话说，如果针对前10个奇数该命题为真，那么针对前11个奇数该命题同样为真。这就是“归纳证性明”（proof by induction）法的指导思想。在涉及n的证明时，我们通常会先证明命题在一开始的时候（通常是n= 1时）是正确的，然后证明如果n=k时命题成立，那么n=k+ 1时它也成立。由此可证，在n取所有值时命题都成立。归纳性证明就像爬梯子：先证明你可以踏上梯子，然后证明如果你已经爬上了一级，就可以再向上爬一级。稍稍思考其中的道理，你就会相信自己可以爬上梯子的任意一级。
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例如，对于前n个奇数的和这个命题，我们的目标是证明对于所有的n≥1，都有：
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1 + 3 + 5 + … + (2n– 1) =n2
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我们发现，第一个奇数1的和的确是12，因此当n= 1时，这个命题肯定是正确的。接下来，我们注意到，如果前k个奇数的和是k2，即：
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