打字猴:1.700996698e+09
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1700996701 w==
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1700996703 我们换另一个循环小数再试一试。这一次的循环小数并不是从小数点后第一位就开始循环,比如,如何将小数0.833 33…表示成分数形式呢?先令:
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1700996705 x= 0.833 33…
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1700996707 两边同时乘以100:
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1700996709 100x= 83.333 3…
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1700996711 再同时除以10:
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1700996713 10x= 8.333 3…
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1700996715 从100x中减去10x,小数点后面的所有项都抵消了:
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1700996717 90x= (83.333 3…) – (8.333 3…) = 75
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1700996721 x==
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1700996723 运用构造性证明这种证明方法,我们可以证明当且仅当某个数字的小数形式是有尽或者循环小数时,该数才是有理数。如果某数的小数形式是不循环的无尽小数,例如:
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1700996725 v= 0.123 456 789 101 112 131 415…
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1700996727 这个数字就是无理数。
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1700996732 12堂魔力数学课 [:1700993738]
1700996733 12堂魔力数学课 棋盘覆盖问题与归纳性证明
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1700996735 我们再回过头去,证明与正整数相关的一些定理。在本书第1章,通过观察:
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1700996740 我们先提出前n个奇数的和是n2的命题,然后着手证明这个命题。当时,我们使用的是巧妙的“组合性证明”(combinatorial proof)法,即通过两种方法统计棋盘的方格数,证明了这个命题的真实性。接下来,我们用一种无须巧妙构思的方法来证明这个命题。假设我告诉你(也许你本就深信不疑)前10个奇数的和1 + 3 + … + 19是102,即100,如果你表示同意,那么再加上第11个奇数(21),和毫无疑问是121,也就是112。换句话说,如果针对前10个奇数该命题为真,那么针对前11个奇数该命题同样为真。这就是“归纳证性明”(proof by induction)法的指导思想。在涉及n的证明时,我们通常会先证明命题在一开始的时候(通常是n= 1时)是正确的,然后证明如果n=k时命题成立,那么n=k+ 1时它也成立。由此可证,在n取所有值时命题都成立。归纳性证明就像爬梯子:先证明你可以踏上梯子,然后证明如果你已经爬上了一级,就可以再向上爬一级。稍稍思考其中的道理,你就会相信自己可以爬上梯子的任意一级。
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1700996742 例如,对于前n个奇数的和这个命题,我们的目标是证明对于所有的n≥1,都有:
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1700996744 1 + 3 + 5 + … + (2n– 1) =n2
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1700996746 我们发现,第一个奇数1的和的确是12,因此当n= 1时,这个命题肯定是正确的。接下来,我们注意到,如果前k个奇数的和是k2,即:
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