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1 + 3 + 5 + … + (2k– 1) =k2
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再加上下一个奇数（2k+ 1），就有：
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1 + 3 + 5 + … + (2k– 1) + (2k+ 1) =k2+ (2k+ 1)
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= (k+ 1)2
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也就是说，如果前k个奇数的和是k2，那么前k+ 1个奇数的和一定是(k+ 1)2。既然n= 1时命题成立，由上述证明过程可知，n取所有值时该命题也成立。
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归纳性证明法是一个功能强大的证明方法。本书讨论的第一个问题是前n个数字的和：
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1 + 2 + 3 + … +n=
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当n= 1时，该命题肯定是正确的，因为1 = （1×2） / 2。如果我们假设对于某个数字k，命题
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1 + 2 + 3 + … +k=
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是正确的，在上式基础上再加上 (k+ 1)，就会得到：
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1 + 2 + 3 + … +k+ (k+ 1) =+ (k+ 1)
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= (k+ 1) (+ 1)
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=
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这是用k+ 1代替n时的求和公式。因此，如果n=k（k是任意正数）时公式成立，那么当n=k+ 1时，该公式同样成立。由此可证，当n取所有正值时，公式都成立。
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在本章以及后续章节中，我们将见到更多的归纳性证明实例。为了帮助大家加深印象，我在这里为大家送上“数学音乐家”戴恩·坎普（Dane Camp）和拉里·莱塞（Larry Lesser）创作的一首歌，这首歌采用了美国民谣歌手鲍勃·迪伦（Bob Dylan）的作品《答案在风中飘荡》（Blowing in the Wind）的旋律。
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如何才能证明n取所有值时
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命题都成立？
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既然无法一一验证
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盲目尝试又有何益！
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面临如此困境，
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能否找到锦囊妙计？
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答案啊，我的朋友，是要学会归纳性证明，
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答案是要学会归纳性证明！