1700997928
1700997929
1700997930
1700997931
1700997932
1700997933
1700997934
1700997935
1700997936
由于和是圆的半径,长度都是r,因此三角形XPO是等腰三角形。根据等腰三角形定理,∠OXP= ∠XPO=x。同理,也是半径,且∠OYP= ∠YPO=y。由于三角形XYP的内角和为180°,也就是说2x+ 2y= 180°,即x+y= 90°。证明完毕。
1700997937
1700997938
这条定理是“圆心角定理”的一个特例。在几何学中,圆心角定理是我最喜欢的定理之一,我将在下一个“延伸阅读”中详细介绍这个定理。
1700997939
1700997940
利用圆心角定理,我们可以找出本章开头的问题2的答案。令X和Y为圆上任意两点。以X和Y为端点的弧有两条,长的那条叫作优弧,短的那条叫作劣弧。圆心角定理指出,在X与Y之间的优弧上任取一点P,∠XPY的度数保持不变。具体来说,∠XPY的度数是圆心角∠XOY的一半。如果Q是X与Y之间的劣弧上的一点,则∠XQY= 180°–∠XPY。
1700997941
1700997942
1700997943
1700997944
1700997945
例如,如果∠XOY= 100°,那么X、Y与优弧上的任意点P构成的∠XPY= 50°,X、Y与劣弧上的任意点Q构成的∠XQY= 130°。
1700997946
1700997947
知道圆的周长之后,就可以推导出圆的一个重要公式:面积计算公式。
1700997948
1700997949
定理:半径为r的圆的面积为πr2。
1700997950
1700997951
学校老师可能会要求我们死记硬背这个公式,但是,如果了解这个公式成立的理由,就可能会取得更令人满意的效果。严谨的证明需要使用微积分知识,但即使不用微积分,也可以给出一个令人信服的证明过程。
1700997952
1700997953
证明方法1:如下图所示,把圆看成一系列同心环。按图中所示方向,从顶部向下切割这个圆,一直切至圆心处,然后将它展开,形成一个类似三角形的图形。这个三角形的面积是多少呢?
1700997954
1700997955
1700997956
1700997957
1700997958
半径为r的圆的面积为πr2
1700997959
1700997960
1700997961
底为b、高为h的三角形面积是bh。上面这个类似三角形的图形的底是2πr(圆的周长)、高是r(从圆心至该结构底部的距离)。随着同心环的数量不断增加,切开的圆与三角形越来越接近,因此圆的面积是:
1700997962
1700997963
1700997964
1700997965
bh =(2πr) (r) = πr2
1700997966
1700997967
1700997968
证明完毕。
1700997969
1700997970
这么美妙的定理,一定要反复证明才行!这个证明方法把圆看作一个洋葱,接下来我们把圆变成比萨饼。
1700997971
1700997972
证明方法2:将圆分成很多个大小相等的部分,然后将上、下半圆分成的部分穿插在一起。下图显示的是8等分和16等分的情况。
1700997973
1700997974
1700997975
1700997976
1700997977
圆的面积为πr2的另一个证明方法(比萨饼法)
[
上一页 ]
[ :1.700997928e+09 ]
[
下一页 ]