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由于和是圆的半径，长度都是r，因此三角形XPO是等腰三角形。根据等腰三角形定理，∠OXP= ∠XPO=x。同理，也是半径，且∠OYP= ∠YPO=y。由于三角形XYP的内角和为180°，也就是说2x+ 2y= 180°，即x+y= 90°。证明完毕。
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这条定理是“圆心角定理”的一个特例。在几何学中，圆心角定理是我最喜欢的定理之一，我将在下一个“延伸阅读”中详细介绍这个定理。
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利用圆心角定理，我们可以找出本章开头的问题2的答案。令X和Y为圆上任意两点。以X和Y为端点的弧有两条，长的那条叫作优弧，短的那条叫作劣弧。圆心角定理指出，在X与Y之间的优弧上任取一点P，∠XPY的度数保持不变。具体来说，∠XPY的度数是圆心角∠XOY的一半。如果Q是X与Y之间的劣弧上的一点，则∠XQY= 180°–∠XPY。
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例如，如果∠XOY= 100°，那么X、Y与优弧上的任意点P构成的∠XPY= 50°，X、Y与劣弧上的任意点Q构成的∠XQY= 130°。
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知道圆的周长之后，就可以推导出圆的一个重要公式：面积计算公式。
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定理：半径为r的圆的面积为πr2。
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学校老师可能会要求我们死记硬背这个公式，但是，如果了解这个公式成立的理由，就可能会取得更令人满意的效果。严谨的证明需要使用微积分知识，但即使不用微积分，也可以给出一个令人信服的证明过程。
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证明方法1：如下图所示，把圆看成一系列同心环。按图中所示方向，从顶部向下切割这个圆，一直切至圆心处，然后将它展开，形成一个类似三角形的图形。这个三角形的面积是多少呢？
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半径为r的圆的面积为πr2
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底为b、高为h的三角形面积是bh。上面这个类似三角形的图形的底是2πr（圆的周长）、高是r（从圆心至该结构底部的距离）。随着同心环的数量不断增加，切开的圆与三角形越来越接近，因此圆的面积是：
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bh =(2πr) (r) = πr2
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证明完毕。
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这么美妙的定理，一定要反复证明才行！这个证明方法把圆看作一个洋葱，接下来我们把圆变成比萨饼。
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证明方法2：将圆分成很多个大小相等的部分，然后将上、下半圆分成的部分穿插在一起。下图显示的是8等分和16等分的情况。
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圆的面积为πr2的另一个证明方法（比萨饼法）