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定理：半径为r的圆的面积为πr2。
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学校老师可能会要求我们死记硬背这个公式，但是，如果了解这个公式成立的理由，就可能会取得更令人满意的效果。严谨的证明需要使用微积分知识，但即使不用微积分，也可以给出一个令人信服的证明过程。
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证明方法1：如下图所示，把圆看成一系列同心环。按图中所示方向，从顶部向下切割这个圆，一直切至圆心处，然后将它展开，形成一个类似三角形的图形。这个三角形的面积是多少呢？
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半径为r的圆的面积为πr2
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底为b、高为h的三角形面积是bh。上面这个类似三角形的图形的底是2πr（圆的周长）、高是r（从圆心至该结构底部的距离）。随着同心环的数量不断增加，切开的圆与三角形越来越接近，因此圆的面积是：
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bh =(2πr) (r) = πr2
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证明完毕。
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这么美妙的定理，一定要反复证明才行！这个证明方法把圆看作一个洋葱，接下来我们把圆变成比萨饼。
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证明方法2：将圆分成很多个大小相等的部分，然后将上、下半圆分成的部分穿插在一起。下图显示的是8等分和16等分的情况。
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圆的面积为πr2的另一个证明方法（比萨饼法）
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随着等分的数量不断增加，每等分的形状与高为r的三角形越来越接近。将下半个圆分割而成的这些“三角形”（仿佛一排石笋）与上半个圆分割而成的“三角形”（像一排钟乳石）穿插在一起，形成的图形与矩形十分接近。矩形的高为r，底等于周长的1/2，即πr。（为了让最后的图形更像矩形，而不是平行四边形，我们将最左边的“钟乳石”分成两半，将其中一半移到最右边。）等分数越多，最后得到的图形就越接近矩形，因此圆的面积是：
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bh =(πr) (r) = πr2
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证明完毕。
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我们经常需要描述圆的平面坐标图。如下图所示，以 ( 0, 0 ) 为圆心、以r为半径的圆可以用方程式
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x2+y2=r2
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来表示。为什么呢？我们令 (x,y) 为圆上的任意一点，然后画一个直角边长为x和y、斜边长为r的三角形。根据勾股定理，我们知道x2+y2=r2。
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以 (0,0) 为圆心、以r为半径的圆的方程式为x2+y2=r2，面积为πr2
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当r= 1时，上图这个圆被称为“单位圆”（unit circle）。如下图所示，我们拉伸单位圆，使它在水平方向和垂直方向上分别变为原来的a倍和b倍，就会得到椭圆。
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