打字猴:1.700998655e+09
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1700998656 角A关于y轴映射,就会得到补角180° –A。此时,单位圆上对应点的纵坐标保持不变,而横坐标变成相反数。换句话说:
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1700998658 cos (180° –A) = – cosAsin (180° –A) = sinA
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1700998660 例如,当A= 30°时,从上式可知:
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1700998663 cos 150°= – cos 30°= –/2 sin 150°= sin 30°= 1 / 2
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1700998665 我们利用类似方法,继续定义其他三角函数,例如,tanA= sinA/ cosA。
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1700998667 x轴和y轴将平面分成4个象限,我们把它们分别称为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。其中,第一象限的角为0°~90°,第二象限的角为90°~180°,第三象限的角为180°~270°,第四象限的角为270°~360°。请注意,第一象限、第二象限的正弦函数为正值,第一象限、第四象限的余弦函数为正值,因此,第一象限、第三象限的正切函数为正值。有的学生想出了一句口诀:“All Students Take Calculus”(所有学生都要学习微积分),以首字母(A、S、T、C)对应各象限中数值为正值的三角函数(即所有三角函数、正弦、正切、余弦)。
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1700998669 值得我们学习的最后一批词汇与反三角函数有关,因为反三角函数可以帮助我们确定角的度数。例如,1 / 2的反正弦函数arc sin(1 / 2)表示角A的正弦函数sinA= 1 / 2。我们知道sin 30°= 1 / 2,因此:
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1700998671 arc sin(1 / 2) = 30°
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1700998673 反正弦函数arc sin对应的角一定在 –90°与90°之间,但我们必须知道,在这个区间之外,还有一些角的正弦函数值一样,例如sin 150°= 1/2。同样,在30°或150°的基础上加上360°的倍数之后,正弦函数的值保持不变,仍然是1/2。
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1700998675 对于下图所示的3–4–5三角形,利用三角函数与计算器,可以通过3种不同方法计算出角A的度数:
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1700998677 ∠A= arc sin (3 / 5) = arc cos (4 / 5) = arc tan (3 / 4) ≈ 36.87°≈ 37°
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1700998682 利用反三角函数和边长可以求出角的度数。在本例中,由于tanA= 3 / 4,因此∠A= arc tan (3 / 4) ≈ 37°
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1700998684 接下来,我们就可以利用这些三角函数来解决问题了。在几何学中,给定任意直角三角形的直角边长之后,我们就可以根据勾股定理求出其斜边的长度。在三角学中,我们可以利用“余弦定理”(law of cosines),对任意三角形进行类似运算。
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1700998686 定理(余弦定理):对于任意三角形ABC,已知两条边的边长分别为a和b,两边的夹角为C,则第三边的边长满足下列等式:
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1700998688 c2=a2+b2– 2abcosC
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1700998690 例如,在下图中,三角形ABC两条边的边长分别为21和26,两边夹角为15°。根据余弦定理,第三边的长度c必然满足:
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1700998692 c2= 212+ 262– 2 (21) (26) cos 15°
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1700998694 由于cos 15°≈ 0.965 9,因此上述方程式可以化简为c2= 62.21,即c≈ 7.89。
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1700998699 延伸阅读
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1700998701 证明:在证明余弦定理时,我们需要考虑∠C是直角、锐角或钝角这三种情况。如果∠C是直角,那么cosC= cos 90°= 0,此时余弦定理简化为c2=a2+b2,与勾股定理一致。
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