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如上图所示，如果∠C是锐角，从B向画垂线并与交于点D，就可将三角形ABC分割成两个直角三角形。根据上图，在三角形CBD中，由勾股定理可知a2=h2+x2，也就是说：
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h2=a2–x2
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从三角形ABD可以得到c2=h2+ (b–x)2=h2+b2– 2bx+x2，即：
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h2=c2–b2+ 2bx–x2
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综合上面两个等式，消去h2，可以得到：
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c2–b2+ 2bx–x2=a2–x2
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也就是说：
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c2=a2+b2– 2bx
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从直角三角形CBD可以得出cosC=x/a，即x=acosC。由此可知，当∠C是锐角时：
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c2=a2+b2– 2abcosC
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如下图所示，当∠C是钝角时，我们可以在三角形的外部构建直角三角形CBD。
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对直角三角形CBD和ABD分别运用勾股定理，可以得到a2=h2+x2，且c2=h2+ (b+x)2。消去h2，可以得到：
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c2=a2+b2+ 2bx
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从三角形CBD可知，cos (180°–C) =x/a，即x=acos (180°–C) = –acosC。因此，我们再一次证明下面这个等式成立。
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c2=a2+b2– 2abcosC
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顺便告诉大家，我们还可以根据一个非常简洁的公式求出上述三角形的面积。
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推论：对于任意三角形ABC，已知两条边的边长分别为a和b，两边的夹角为C，有：
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三角形ABC的面积 =absinC
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延伸阅读
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证明：底为b、高为h的三角形面积是bh。在证明余弦定理时，我们考虑了三角形的3种情况。在这3种情况下，三角形的底边都是b，因此我们现在需要确定h的值。如果∠C是锐角，通过观察可知，sinC=h/a，即h=asinC。如果∠C是钝角，有sin (180°–C) =h/a，即h=asin (180°–C) =asinC，结果同上。如果∠C是直角，则h=a。由于C= 90°，且sin 90°= 1，因此h=asinC。也就是说，在这3种情况下，都有h=asinC。因此，三角形的面积等于absinC。证明完毕。 □
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