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12堂魔力数学课 [:1700993756]
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12堂魔力数学课 妙趣横生的三角恒等式
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三角函数之间有很多非常有意思的关系，我们称之为“三角恒等式”。前文中已经介绍了一些三角恒等式，例如：
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sin (–A) = –sinAcos (–A) = cosA
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还有一些有意思的恒等式可以推导出重要的公式，接下来我们将探讨这些公式。第一个恒等式来自单位圆公式：
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x2+y2= 1
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由于点 (cosA, sinA) 位于单位圆上，因此它肯定满足上述关系，也就是说 (cosA)2+ (sinA)2= 1。这可能是最重要的三角恒等式了。
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定理：对于任意角A，都有：
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cos2A+ sin2A= 1
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到目前为止，我们一直在用字母A来表示任意角，但是这个字母本身没有任何特殊的地方。上述恒等式也经常用其他字母来表示，例如：
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cos2x+ sin2x= 1
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此外，人们还经常使用希腊字母θ：
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cos2θ+ sin2θ= 1
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我们有时甚至不使用任何变量，例如，我们可以把它简写成：
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cos2+ sin2= 1
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在证明其他恒等式之前，我们先利用勾股定理计算一条线段的长度。它是证明这个恒等式的关键，其计算结果本身也具有非常重要的价值。
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定理（距离公式）：令L为点 (x1,y1) 与 (x2,y2) 之间的线段长度，那么：
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例如，点 (–2, 3) 与 (5, 8) 之间的线段长度为
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根据勾股定理，L2= (x2–x1)2+ (y2–y1)2
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证明：如上图所示，以点(x1,y1) 与 (x2,y2)之间的线段为斜边画一个直角三角形。三角形底边的长度为x2–x1，高为y2–y1。因此，根据勾股定理，斜边L满足：
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L2= (x2–x1)2+ (y2–y1)2
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也就是说，。证明完毕。 □