打字猴:1.700998819e+09
1700998819 12堂魔力数学课 [:1700993756]
1700998820 12堂魔力数学课 妙趣横生的三角恒等式
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1700998822 三角函数之间有很多非常有意思的关系,我们称之为“三角恒等式”。前文中已经介绍了一些三角恒等式,例如:
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1700998824 sin (–A) = –sinAcos (–A) = cosA
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1700998826 还有一些有意思的恒等式可以推导出重要的公式,接下来我们将探讨这些公式。第一个恒等式来自单位圆公式:
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1700998828 x2+y2= 1
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1700998830 由于点 (cosA, sinA) 位于单位圆上,因此它肯定满足上述关系,也就是说 (cosA)2+ (sinA)2= 1。这可能是最重要的三角恒等式了。
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1700998832 定理:对于任意角A,都有:
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1700998834 cos2A+ sin2A= 1
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1700998836 到目前为止,我们一直在用字母A来表示任意角,但是这个字母本身没有任何特殊的地方。上述恒等式也经常用其他字母来表示,例如:
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1700998838 cos2x+ sin2x= 1
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1700998840 此外,人们还经常使用希腊字母θ:
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1700998842 cos2θ+ sin2θ= 1
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1700998844 我们有时甚至不使用任何变量,例如,我们可以把它简写成:
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1700998846 cos2+ sin2= 1
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1700998848 在证明其他恒等式之前,我们先利用勾股定理计算一条线段的长度。它是证明这个恒等式的关键,其计算结果本身也具有非常重要的价值。
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1700998850 定理(距离公式):令L为点 (x1,y1) 与 (x2,y2) 之间的线段长度,那么:
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1700998856 例如,点 (–2, 3) 与 (5, 8) 之间的线段长度为
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1700998861 根据勾股定理,L2= (x2–x1)2+ (y2–y1)2
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1700998863 证明:如上图所示,以点(x1,y1) 与 (x2,y2)之间的线段为斜边画一个直角三角形。三角形底边的长度为x2–x1,高为y2–y1。因此,根据勾股定理,斜边L满足:
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1700998865 L2= (x2–x1)2+ (y2–y1)2
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1700998868 也就是说,。证明完毕。 □
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