1700998820
12堂魔力数学课 妙趣横生的三角恒等式
1700998821
1700998822
三角函数之间有很多非常有意思的关系,我们称之为“三角恒等式”。前文中已经介绍了一些三角恒等式,例如:
1700998823
1700998824
sin (–A) = –sinAcos (–A) = cosA
1700998825
1700998826
还有一些有意思的恒等式可以推导出重要的公式,接下来我们将探讨这些公式。第一个恒等式来自单位圆公式:
1700998827
1700998828
x2+y2= 1
1700998829
1700998830
由于点 (cosA, sinA) 位于单位圆上,因此它肯定满足上述关系,也就是说 (cosA)2+ (sinA)2= 1。这可能是最重要的三角恒等式了。
1700998831
1700998832
定理:对于任意角A,都有:
1700998833
1700998834
cos2A+ sin2A= 1
1700998835
1700998836
到目前为止,我们一直在用字母A来表示任意角,但是这个字母本身没有任何特殊的地方。上述恒等式也经常用其他字母来表示,例如:
1700998837
1700998838
cos2x+ sin2x= 1
1700998839
1700998840
此外,人们还经常使用希腊字母θ:
1700998841
1700998842
cos2θ+ sin2θ= 1
1700998843
1700998844
我们有时甚至不使用任何变量,例如,我们可以把它简写成:
1700998845
1700998846
cos2+ sin2= 1
1700998847
1700998848
在证明其他恒等式之前,我们先利用勾股定理计算一条线段的长度。它是证明这个恒等式的关键,其计算结果本身也具有非常重要的价值。
1700998849
1700998850
定理(距离公式):令L为点 (x1,y1) 与 (x2,y2) 之间的线段长度,那么:
1700998851
1700998852
1700998853
1700998854
1700998855
1700998856
例如,点 (–2, 3) 与 (5, 8) 之间的线段长度为
1700998857
1700998858
1700998859
1700998860
1700998861
根据勾股定理,L2= (x2–x1)2+ (y2–y1)2
1700998862
1700998863
证明:如上图所示,以点(x1,y1) 与 (x2,y2)之间的线段为斜边画一个直角三角形。三角形底边的长度为x2–x1,高为y2–y1。因此,根据勾股定理,斜边L满足:
1700998864
1700998865
L2= (x2–x1)2+ (y2–y1)2
1700998866
1700998867
1700998868
也就是说,。证明完毕。 □
[
上一页 ]
[ :1.700998819e+09 ]
[
下一页 ]