1700998871

1700998872 延伸阅读

1700998873

1700998874

1700998875

1700998876 如果一个盒子的大小为a×b×c，那么它的对角线有多长呢？令O、P为盒子底面对角线的两个端点。因为底面是一个a×b的矩形，因此对角线的长度为。

1700998877

1700998878

1700998879

1700998880

1700998881

1700998882

1700998883 从点P沿垂直方向向上运动长为c的距离，就会到达与点O相对的点Q。要求出点O与点Q的距离，就需要利用三角形OPQ。该三角形是直角三角形，直角边的长度分别为和c。因此，根据勾股定理，线段的长度为：

1700998884

1700998885

1700998886

1700998887

1700998888 接下来，我们证明一个既美观又重要的三角恒等式。该定理的证明过程比较复杂，如果你不想了解，可以跳过不读。好消息是，如果这一次你不怕麻烦完成证明工作，那么后面更多恒等式的证明都将迎刃而解。

1700998889

1700998890 定理：对于任意角A与角B，都有：

1700998891

1700998892 cos (A–B) = cosA cosB+ sinAsinB

1700998893

1700998894

1700998895 证明：如下图所示，在以O为圆心的单位圆上取点P和Q，它们的坐标分别为 (cosA, sinA)、 (cosB, sinB)。那么的长度c有什么特点呢？

1700998896

1700998897

1700998898

1700998899

1700998900 此图可用于证明cos (A–B) = cosAcosB+ sinAsinB

1700998901

1700998902

1700998903

1700998904 通过观察可以发现，在三角形OPQ中，和都是单位圆的半径，长度为1，两者的夹角∠POQ的度数为A–B。因此，根据余弦定理：

1700998905

1700998906 c2= 12+ 12– 2 (1) (1) cos (A–B)

1700998907

1700998908 = 2 – 2 cos (A–B)

1700998909

1700998910 与此同时，根据距离公式，c必然满足：

1700998911

1700998912 c2= (x2–x1)2+ (y2–y1)2

1700998913

1700998914 因此，点P(cosA, sinA) 与点Q(cosB, sinB) 之间的距离c也满足：

1700998915

1700998916 c2= (cosB– cosA)2+ (sinB–sinA)2

1700998917

1700998918 = cos2B–2 cosAcosB+ cos2A+ sin2B–2 sinAsinB+ sin2A

[ 上一页 ]  [ :1.700998869e+09 ]  [ 下一页 ]