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由于∠P’OQ’=A–B,因此P‘ 的坐标是 [cos (A–B), sin (A–B)]。根据距离公式:
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c2= [cos (A–B) – 1]2+ [sin (A–B) – 0]2
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= cos2(A–B) –2 cos (A–B) + 1 + sin2(A–B)
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= 2 – 2 cos (A–B)
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因此,无须运用余弦定理,也无须对角A–B做出任何假设,我们就可以断定c2= 2 – 2 cos (A–B)。其余证明过程同上。
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注意,当A= 90°时,由于cos 90°= 0,sin 90°= 1,因此cos (A–B) 公式会变成:
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cos (90°–B) = cos 90°cosB+ sin 90°sinB
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= sinB
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如果用90°–B替换上式中的B,就会得到:
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cosB= cos 90°cos(90°–B) + sin 90°sin (90°–B)
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= sin (90°–B)
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根据前文中的证明,我们知道当B是锐角时,上式成立。现在,通过上面的代数运算,我们知道对于任意角B,上式都成立。同理,如果用–B替换cos (A–B) 公式中的B,由于cos (–B) = cosB,且sin (–B) = – sinB,那么:
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cos (A+B) = cosAcos (–B) + sinAsin (–B)
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= cosAcosB– sinAsinB
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如果令上式中的B=A,就会得到“二倍角公式”(double angle formula):
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