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= 2–2 cosAcosB–2 sinAsinB
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最后一步利用了cos2B+ sin2B= 1和cos2A+ sin2A= 1这两个恒等式。
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消去两个等式中的c2，就会得到：
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2 – 2 cos (A–B) = 2–2 cosAcosB–2 sinAsinB
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两边同时减去2，然后同时除以–2，就会得到：
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cos (A–B) = cosAcosB+ sinAsinB□
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延伸阅读
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上述证明建立在余弦定理的基础上，同时假设0°
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由于∠P’OQ’=A–B，因此P‘ 的坐标是 [cos (A–B), sin (A–B)]。根据距离公式：
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c2= [cos (A–B) – 1]2+ [sin (A–B) – 0]2
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= cos2(A–B) –2 cos (A–B) + 1 + sin2(A–B)
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= 2 – 2 cos (A–B)
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因此，无须运用余弦定理，也无须对角A–B做出任何假设，我们就可以断定c2= 2 – 2 cos (A–B)。其余证明过程同上。
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注意，当A= 90°时，由于cos 90°= 0，sin 90°= 1，因此cos (A–B) 公式会变成：
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cos (90°–B) = cos 90°cosB+ sin 90°sinB
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= sinB
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如果用90°–B替换上式中的B，就会得到：
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cosB= cos 90°cos(90°–B) + sin 90°sin (90°–B)
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= sin (90°–B)
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根据前文中的证明，我们知道当B是锐角时，上式成立。现在，通过上面的代数运算，我们知道对于任意角B，上式都成立。同理，如果用–B替换cos (A–B) 公式中的B，由于cos (–B) = cosB，且sin (–B) = – sinB，那么：
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cos (A+B) = cosAcos (–B) + sinAsin (–B)
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= cosAcosB– sinAsinB
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如果令上式中的B=A，就会得到“二倍角公式”（double angle formula）：
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