打字猴:1.70100083e+09
1701000830 1 ++++ … = ∞
1701000831
1701000832 但是,即使让各项变小,和也不一定会收敛。例如,让调和级数的所有项都除以100,它仍然是一个发散级数,因为:
1701000833
1701000834
1701000835
1701000836
1701000837
1701000838 +++ … =(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … ) = ∞
1701000839
1701000840 不过,把各项变小,也有可能得到一个收敛级数。例如,让所有项进行平方运算,它们的和就会收敛。根据欧拉的证明:
1701000841
1701000842
1701000843
1701000844
1701000845
1701000846 1 ++++ … =
1701000847
1701000848
1701000849
1701000850
1701000851
1701000852 事实上,我们利用积分就可以证明对于任意的p> 1,1 ++++ …都会收敛于某个小于的数。例如,如果p= 1.01,那么下式的各项都会略微小于调和级数的各项。但是,即便如此,它也是一个收敛级数。
1701000853
1701000854
1701000855
1701000856
1701000857 1 ++++ … <101
1701000858
1701000859
1701000860
1701000861
1701000862
1701000863
1701000864
1701000865 假设我们从调和级数中删掉所有包含9的项,会有什么结果呢?可以证明,在这种情况下,这个级数的和不是无穷大(它肯定收敛于某个数字)。在证明时,我们根据分母的长度把不含有9的项分别相加。例如,我们先计算分母只有一位数的8个分数(,,,…,)之和。分母是两位数且不包含9的项一共有8×9 = 72个,这是因为第一位数有8种选择(不能是0或9),第二位数有9种选择。同理,分母是三位数且不包含9的项有8×9×9个。一般地,分母是n位数且不包含9的项有8×9n–1个。注意,分母是一位数的最大分数是1,分母是两位数的最大分数是,分母是三位数的最大分数是。因此,我们可以将这个无穷级数按照以下方式分成几组:
1701000866
1701000867
1701000868
1701000869
1701000870
1701000871
1701000872
1701000873
1701000874 1 +++++++< 8
1701000875
1701000876
1701000877
1701000878
1701000879
[ 上一页 ]  [ :1.70100083e+09 ]  [ 下一页 ]