1701000830
1 ++++ … = ∞
1701000831
1701000832
但是，即使让各项变小，和也不一定会收敛。例如，让调和级数的所有项都除以100，它仍然是一个发散级数，因为：
1701000833
1701000834
1701000835
1701000836
1701000837
1701000838
+++ … =(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … ) = ∞
1701000839
1701000840
不过，把各项变小，也有可能得到一个收敛级数。例如，让所有项进行平方运算，它们的和就会收敛。根据欧拉的证明：
1701000841
1701000842
1701000843
1701000844
1701000845
1701000846
1 ++++ … =
1701000847
1701000848
1701000849
1701000850
1701000851
1701000852
事实上，我们利用积分就可以证明对于任意的p> 1，1 ++++ …都会收敛于某个小于的数。例如，如果p= 1.01，那么下式的各项都会略微小于调和级数的各项。但是，即便如此，它也是一个收敛级数。
1701000853
1701000854
1701000855
1701000856
1701000857
1 ++++ … ＜101
1701000858
1701000859
1701000860
1701000861
1701000862
1701000863
1701000864
1701000865
假设我们从调和级数中删掉所有包含9的项，会有什么结果呢？可以证明，在这种情况下，这个级数的和不是无穷大（它肯定收敛于某个数字）。在证明时，我们根据分母的长度把不含有9的项分别相加。例如，我们先计算分母只有一位数的8个分数（,,,…,）之和。分母是两位数且不包含9的项一共有8×9 = 72个，这是因为第一位数有8种选择（不能是0或9），第二位数有9种选择。同理，分母是三位数且不包含9的项有8×9×9个。一般地，分母是n位数且不包含9的项有8×9n–1个。注意，分母是一位数的最大分数是1，分母是两位数的最大分数是，分母是三位数的最大分数是。因此，我们可以将这个无穷级数按照以下方式分成几组：
1701000866
1701000867
1701000868
1701000869
1701000870
1701000871
1701000872
1701000873
1701000874
1 +++++++＜ 8
1701000875
1701000876
1701000877
1701000878
1701000879
