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第二步，对任何一个给定的x值，因为A点和B点的位置是已知的，我们可以算出步行者穿过雪地和草地走到B点所用的总时间。为了计算在雪地上行走的时间和在草地上行走的时间，我们要用到勾股定理，还要用到我们耳熟能详的一句口诀：“距离等于速度乘以时间”。把雪地上的行走时间和草地上的行走时间相加，就得到了远足者从A点走到B点所用的总时间T。显然，T是x的一个函数。
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第三步，我们画出T随着x变化的函数图像。这个函数图像的最低点就是我们要找的最优解——在那一点，远足者可以花最短的时间从A点走到B点。
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第四步，为了找到这个最低点，我们要用到前面提到的那个性质：最大值和最小值处导数为零。让我们计算出T的导数，令这个导数等于零，然后解出导数为零时x的值。
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这四步求解的过程包含了几何、代数，还有微积分中的多个求导公式。要把数学中的这些知识融会贯通，并不比流利地说一门外语简单，因此很多学生面对这样的题目会感到束手无策。
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这道题目的结果是很有意思的，完全值得我们花上一番工夫。我们解出的最优路径服从所谓的“斯涅尔定律”，斯涅尔定律又称折射定律。有趣的是，不仅题目中的远足者服从斯涅尔定律，大自然也同样遵守着这条定律。
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斯涅尔定律描述了光线从空气中射入水中时的弯曲情况。当明亮的阳光照进闪烁的游泳池中，斯涅尔定律便开始发挥作用。光在水中传播的速度比在空气中传播的速度慢，就像远足者在雪地上比在草地上走得慢一样。远足者为了节约时间而走弯路，光线射入水中的时候也会弯曲，从而使传播所需的时间最小化。同样，当光线从空气中射入玻璃或者塑料的时候也会发生弯曲的现象，比如光透过你的眼镜片时，就会有折射现象发生。
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奇怪的是，光竟然如此“聪明”，它仿佛考察过了所有可能的路径，然后，精确地选择了其中耗时最短的最优路径。大自然似乎也懂得微积分（此处请播放《迷离时空》的主题曲）！
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001371]
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 第18章 积分谱成的优雅数学变奏曲
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对普通人来说，数学中用到的符号往往都显得很神秘。我觉得最好的数学符号是那些一眼就能看出含义的符号。比如零（0）、一（1）和无穷大（∞）的符号就非常巧妙。0就像一个空洞，1是孤零零的一个符号，无穷大的符号∞看起来则像一个神秘的永无止境的环。等号（=）是由两根等长的平行线构成的。等号的发明人、威尔士数学家罗伯特·雷科德表示：“再没有两个东西能比这两条平行线更相似的了。”
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在微积分的内容中，最具标志性的符号是积分符号：
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这个优雅修长的形状，让人想起高音谱号和小提琴音孔的形状。这个符号真是再贴切不过了，数学中一些最迷人的和声正是由积分谱出的。可惜的是，实际上，当年德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨选中这个符号的原因根本没有这么诗意，他只是把“求和”（summation）一词的首字母s拉长了一些而已。
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什么是求和呢？那就要联系上下文了。在天文学知识中，太阳对地球引力的总和是用积分来描述的。我们知道，太阳是由很多个原子组成的，每一个原子到地球的距离各不相同，这个积分表示每个太阳原子对地球微小引力的加总。在肿瘤学中，一个固态肿瘤质量的增加可以用积分来模拟，化疗过程中药物的积累过程也可以用积分来表示。
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这些东西的求和有什么特殊之处呢？为什么我们不用小学就学过的加法运算来求和，而要发明一个新工具，也就是积分呢？为了回答这个问题，我们先来看看为了计算太阳对地球的引力，我们到底要面对哪些困难和挑战。第一个问题是，太阳并不是一个点，地球也不是一个点。地球和太阳是两个巨大的球体，它们都是由极大量的原子构成的。太阳的每个原子都在吸引着地球的每个原子。当然因为原子的引力非常小，一个原子对另一个原子的引力小得几乎可以忽略不计。但是，因为星球所含的原子总量大得难以想象，所以总体的引力是颇为可观的。我们需要求出这个总体的引力和。
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除了这个问题，我们还面临第二个更严峻的挑战，那就是不同原子之间的引力的大小不同。有的原子之间的引力大，有的原子之间的引力小。为什么会这样呢？因为引力是随距离的变化而变化的。两个原子靠得越近，它们之间的引力就越大。太阳最远端和地球最远端的原子之间的相互作用力较小，而近端原子之间的引力则要大一些，还有一些不远不近位置上的原子，它们之间的引力是适中的。这些各不相同的作用力无法用普通的加法运算来加总，必须用积分才能求和。多么神奇！这么复杂棘手的求和问题居然是可解的，至少在一定条件下是可解的。如果我们假设太阳和地球都是实心球体，两者都是由无穷多点的连续物质构成的，而且每一点都对其他点产生一个极小的引力，在这些假设之下，我们可以用积分计算出太阳对地球的引力。在这个问题中，无穷和极限的理念又一次拯救了我们。
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在数学的历史上，积分最早产生于几何学领域，发明积分是为了计算曲线围成的面积。在第16章中我们提到过，圆可以像比萨一样被切成很多小块。在极限的情况下，一个圆可以被等分成无限多个小块，每一块的面积无限小。这些小块可以被巧妙地拼成一个长方形，而且长方形的面积非常容易计算。通过这样的方法，我们求出了圆的面积。这是积分的一种典型的用法：把一个复杂的东西进行无数次分割，最终使其容易加总。
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除了这种二维的切割法，阿基米德还使用过这种方法的三维升级版，他以此来计算各种实心几何体的体积（在阿基米德之前，另一位希腊数学家欧克多索在公元前400年左右就做过类似的事情了）。阿基米德的方法是这样的：把实心几何体想象成是一堆盘子、一摞华夫饼，或者是一根切成很多薄片的香肠。因为几何体是不规则的，每一片香肠的大小不尽相同，通过计算这些大小不一的薄片的体积，再把它们巧妙地加总起来，不规则几何体的体积就计算出来了。
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今天，我们仍然用这些经典的几何学问题来磨炼小数学家和小科学家们的积分技能。这些题目是积分学家庭作业中最难的，很多学生对它们恨之入骨。但是，要想让这些未来的物理工作者、金融工作者们学好他们日后每天都要用到的积分知识，实在没有比解决经典几何题目更好的工具了。
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其中一道经典的难题是这样的：两个一模一样的圆柱体垂直相交，形成厨房里的排气管交界处那样的形状。试求这个几何体的体积。
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