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⑨测地正六边形面积：
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（平方单位）
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注意：Gauss-Bonnet公式在单位球面上测地多边形的面积等于测地多边形的外角之和与2π之差。
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（6）正二十面体群
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正二十面体在空间中保持它占有同一空间位置的转动共有60种，其中：
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①绕6对相对顶点连线作旋转，共24种。
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②绕10对相对面中心连线作旋转，共20种。
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③绕15对相对棱中心连线作π旋转，共15种。
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④一动不动的旋转，共1种。
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（7）足球群
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让足球转动保持前后位置的足球图案完全重合的旋转和正二十面体群是一致的，它们是：
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①绕6对相对正五边形中心连线作旋转，共24种。
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②绕10对相对正六边形中心连线作旋转，共20种。
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1701007149
③绕15对相对的正六边形公共棱的中心连线作π旋转，共15种。
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④一动不动的旋转，共1种。
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足球的上述60种旋转构成一个群，也就是接连做任意两个这种旋转，得到的还是属于其中的一种旋转。
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（8）如何画出足球的图案
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足球上共有60个顶点。如果我们能够求得这60个顶点的坐标，则不难用计算机画出足球的平面投影图。
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【问题】如何计算各顶点的坐标？
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【分析】
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假定初始的正二十面体的12个顶点如前面的计算那样放置。将足球上60个顶点从上到下分层编号，上半球面的30个点是：
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v11,v12,v13,v14,v15, v21,v22,v23,v24,v25, v31,v32,v33,v34,v35,v36,v37,v38,v39,v310, v41,v42,v43,v44,v45,v46,v47,v48,v48,v410.
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