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我和数学有约:趣味数学及算法解析 6.12 双层玻璃的功效
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北方城镇有些建筑物的窗户是双层的,即窗户上装两层厚度为d的玻璃夹着一层厚度为l的空气,如图6-20所示,据说这样做是为了保暖,即减少室内向室外的热量流失。
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图6-20 双层玻璃窗和单层玻璃窗
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【问题】相对于单层玻璃,双层玻璃真的能有助于提高保暖吗?
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【分析】
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为了较好的分析双层玻璃的功效,我们需要建立一个模型来描述热量通过窗户的热传导(即流失)过程,并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗(如图6-20所示,双层玻璃厚度为2d)的热量传导进行对比,对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果。
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我们假设热量的传播过程只有传导,没有对流,即假定窗户的密封性能很好,两层玻璃之间的空气是不流动的;室内温度T1和室外温度T2保持不变,热传导过程已处于稳定状态,即沿热传导方向,单位时间通过单位面积的热量是常数;玻璃材料均匀,热传导系数是常数。
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由物理学知道,在上述假设下,热传导过程遵从下面的物理规律:
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厚度为d的均匀介质,两侧温度差为ΔT,则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量为Q,与ΔT成正比,与d成反比,即:
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其中k为热传导系数。
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(1)双层玻璃的热量流失
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记双层窗内窗玻璃的外侧温度为Ta,外层玻璃的内侧温度为Tb,玻璃的热传导系数为k1,空气的热传导系数为k2,由(6.1)式单位时间单位面积的热量传导(热量流失)为:
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由及可得:
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再代入,就将(6.2)中Ta、Tb消去,变形可得:
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