1701008250
【问题】取一个饮料量为355毫升的易拉罐。例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量模型所需要的数据，如易拉罐各部分的直径、高度和厚度等，设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，比如说，半径和高之比等等？
1701008251
1701008252
【分析】
1701008253
1701008254
假设研究的易拉罐都是容量为355毫升饮料的易拉罐；易拉罐各部位的材料是一样的，只是有厚度差异，但罐盖、罐身和罐底各自部分的厚度是均匀的；制造罐盖、罐身和罐底的加工费是一样的，不考虑切割浪费等，即仅考虑成易拉罐本身上的材料量。
1701008255
1701008256
为了更好地将实际问题数学化，我们假设计算易拉罐铝皮体积时忽略内外径的影响，即制造易拉罐的材料量为表面积与其相应厚度之积。
1701008257
1701008258
为了研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题，我们从市场上购来了不同规格的饮料易拉罐来观察并测量了它的有关数据。
1701008259
1701008260
首先，我们取了一个容量为355毫升的易拉罐，经过仔细观察绘制出其大致结构图形如图6-22所示。
1701008261
1701008262
1701008263
1701008264
1701008265
图6-22 普通易拉罐的结构示意图
1701008266
1701008267
1701008268
1701008269
1701008270
1701008271
1701008272
1701008273
1701008274
1701008275
1701008276
1701008277
其中，易拉罐的主身的外径，易拉罐的盖部的外径，易拉罐的底部的外径，整个易拉罐的高度，易拉罐的圆柱部分的高度，易拉罐盖部圆台的高，易拉罐底部圆台的高，罐侧壁的厚度，罐盖的厚度，罐底的厚度。
1701008278
1701008279
1701008280
从实际的饮料罐的观察及测量的数据都可以看出，易拉罐的盖部外径是大于底部外径的，，上部大于下部，这是否意味着头重脚轻呢。相反，它的结构并不违反力学原理，而是为了包装摆放方便、省空间，易拉罐与易拉罐可以合适稳当地重叠放置，底部又不可能直接比盖顶小，为了缓解整瓶饮料对底部的压力的传递，将底部制造为内陷向上凸的球台；并且底部向上凸，可以摆放得更平稳，在运输过程中更加稳定；底部向上凸，增大了面积也就减小了单位面积的收压，也同制造蛋壳的构造原理，使得用最小的面积，获得最大的抗压性，使底部更坚硬。但是盖顶有一圆台，这样就不会让人感到头大脚小，比较美观又经济地方便了放置，也可能是利用那个空间来缓解在运输等过程中的热膨胀。
1701008281
1701008282
首先我们从简单结构分析出发，将实际的饮料罐标准化为一个正圆柱体，如图6-23所示。
1701008283
1701008284
1701008285
1701008286
1701008287
图6-23 易拉罐结构的简化
1701008288
1701008289
所谓的最优设计，也就是说在要求饮料罐内体积（即容积）一定时，应该使易拉罐制作所用的材料最省，也就是一个有条件约束的多元函数的极值问题。通过实际测量，我们知道顶盖，底盖的厚度要比其他的部位厚，并且顶盖比底盖的硬度还要硬，仔细考虑一下可以知道这样的设计是符合实际要求的（顶盖强度应该大，因为当饮料罐被开启时，其要承受很大的拉力，当然底盖也应有适当的强度，以承受饮料罐中所装液体的重量而不变形）。由于饮料罐自身硬度分布的不均匀，所以我们在考虑此问题的最优设计时，应该把制作易拉罐所用材料的体积最小作为目标函数，而不仅仅是表面积最小。
1701008290
1701008291
（1）问题分析与求解
1701008292
1701008293
通过对问题的分析，我们可以建立如下的数学模型。
1701008294
1701008295
1701008296
首先明确变量：设易拉罐胖体圆柱的内径为，高为h，体积为V，b1为制造罐侧壁饮料罐身所用材料的厚度，b2为制造罐盖所用材料的厚度，b3为制造罐底所用材料的厚度，所用材料的总体积为SV。结合问题分析和变量设置含义：
1701008297
1701008298
1701008299