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其中SV是目标函数,f(r,h)=0是约束条件,V0是已知的(即要求的罐内体积),即要在体积一定的条件下,求制造罐所用材料的体积最小的r、h、b1、b2和b3。
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这是一个求有约束条件的多元函数的条件极值问题,令饮料罐盖和底的厚度与侧壁厚度的正比关系,假设其比例系数为λ1和λ2,即b2=λ1b1,b3=λ2b1,将原问题简化为求r和h,使:
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在条件下最小。
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其中,λ1为饮料罐罐盖厚度与罐身厚度的比例系数,λ2为饮料罐罐底厚度与罐身厚度的比例系数。
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通过以上转换,可以转化该条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题,具体步骤如下所示。
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Step1,从,解出,代入,使原问题转化为:
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Step2,求其导数,得:
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Step3,求其临界点,令其导数为零,可得:
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解得临界点为,因此得:
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Step4,现求r使达到极小,计算的二阶导数,可得:
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因为r>0,所以,即这个r确实使S达到极小,又由于临界点只有一个,因此也是全局极小。
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