1701011220
1701011221
1701011222
1701011223
1701011224
【问题】对于如此一个四元一次方程组的求解，为何感觉棘手呢？
1701011225
1701011226
【分析】
1701011227
1701011228
对于我们人工计算而言，方程组一旦复杂，运算量增大，而且人工计算误差较大，一不小心就会翻船，因此对于多元方程组计算，一般采用计算机求解，计算机求解快速而且精确，大大地提高了计算的效率，广泛地被人们所接受。
1701011229
1701011230
计算机求解多元方程组的根，常用的方法有Gauss消元法、高斯-赛德尔迭代法、追赶法和雅克比迭代法等，在此将详细介绍高斯消元法。
1701011231
1701011232
Gauss消元法的基本思想是：先逐次消去变量，将方程组化成同解的上三角形方程组，此过程称为消元过程。然后按方程相反顺序求解上三角形方程组，得到原方程组的解，此过程称为回代过程。
1701011233
1701011234
对于Gauss消元法，总结一般的求解步骤，如以下n阶方程组。
1701011235
1701011236
1701011237
1701011238
1701011239
则有Gauss消元法最终结果如下：
1701011240
1701011241
1701011242
1701011243
1701011244
使得矩阵左下角值全为0，然后依次求解每个值。
1701011245
1701011246
用Gauss消元法求解下列方程组：
1701011247
1701011248
1701011249
1701011250
1701011251
写成矩阵的形式如下：
1701011252
1701011253
1701011254
1701011255
1701011256
由方程组书写成矩阵得：
1701011257
1701011258
1701011259
1701011260
1701011261
采用gauss_x()函数进行求解，程序如下：
1701011262
1701011263
clc,clear,close all %清屏和清除变量 warning off %消除警告 format rat; %分数显示 A = [6 2 -1; %方程系数矩阵 1 4 -2; -3 1 4]; B1 = [-3,2,4]’; %方程右边b矩阵 x1 = gauss_x(A,B1)
1701011264
1701011265
其中Gauss消元法函数程序如下：
1701011266
1701011267
function x = gauss_x(A,B) %A为函数系数矩阵； %B为函数值矩阵； %x为求得未知量值； format rat C = [A,B]; nc = size(C); %求C的行列数 for j = 1 : nc(1,2)-2 %列数 for i = j+1 : nc(1,1) %行数 C(i,:) = -C(j,j)./C(i,j) .*C(i,:) + C(j,:); %每行元素进行消元法 end end switch nc(1,1) case 1 %1个未知数求解，1阶方程 x(1) = C(1,end)/C(1,end-1); case 2 %2个未知数求解，2阶方程 x(2) = C(2,end)/C(2,end-1); x(1) = ( C(1,end)-C(1,end-1)*x(2) )/ C(1,end-2); x=[x(1);x(2)]; case 3 %3个未知数求解，3阶方程 x(3) = C(3,end)/C(3,end-1); x(2) = ( C(2,end)-C(2,end-1)*x(3) )/ C(2,end-2); x(1) = ( C(1,end)-C(1,end-1)*x(3)- C(1,end-2)*x(2))/ C(1,end-3); x=[x(1);x(2);x(3)]; case 4 %4个未知数求解，4阶方程 x(4) = C(4,end)/C(4,end-1); x(3) = ( C(3,end)-C(3,end-1)*x(4) )/ C(3,end-2); x(2) = ( C(2,end)-C(2,end-1)*x(4)- C(2,end-2)*x(3))/ C(2,end-3); x(1) = ( C(1,end)-C(1,end-1)*x(4)- C(1,end-2)*x(3)-C(1,end-3)* x(2))/ C(1,end-4); x=[x(1);x(2);x(3);x(4)]; case 5 %5个未知数求解，5阶方程 x(5) = C(5,end)/C(5,end-1); x(4) = ( C(4,end)-C(4,end-1)*x(5) )/ C(4,end-2); x(3) = ( C(3,end)-C(3,end-1)*x(5)- C(3,end-2)*x(4))/ C(3,end-3); x(2) = ( C(2,end)-C(2,end-1)*x(5)- C(2,end-2)*x(4)-C(2,end-3)* x(3))/ C(2,end-4); x(1) = ( C(1,end)-C(1,end-1)*x(5)- C(1,end-2)*x(4)-C(1,end-3)* x(3)-C(1,end-4)*x(2))/ C(1,end-5); x=[x(1);x(2);x(3);x(4);x(5)]; end end
1701011268
1701011269
运行程序输出结果如下：