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我们回过头来接着讨论史前农民这个思想实验。我们创造的数字都是用来代表实物的，如果不用来表示一个真实的物体，这些数字就毫无意义。它们更像形容词，而不是名词。我不能给你手—戈，我只能给你手—戈头山羊或者手—戈只篮子。我也没有办法让你看到手—戈。也许你认为，我可以用合适的符号把手—戈这个数字表现出来。但是，就像山羊的画像不是山羊一样，表示手—戈的符号也不是手—戈这个数字。时至今日，相当多的人都把数字理解为形容词，其中有很多都是那些上学时看到数学就头疼不已的人。这是因为，直接表示具体物体只是数字最基本的功能。
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很多早期数字系统使用起来非常不方便，远远落后于古巴比伦人的发明，原因就在于他们在数字与实物之间建立了这种联系。例如，古希腊人用标准字母表示数字，但是，他们必须重新启用一些早已废弃的字母（例如与大写的“F”非常相似的第6个古希腊字母）才够用。这种系统要求在使用时必须根据上下文区分字母与数字，因此会造成混淆，但这个事实说明，写作与记账这两种活动在人类社会早期是严格分开的。这个结论似乎是在研究腓尼基人时得出的，在研究希伯来人早期的数字表示方法时得到了证实。
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我们大多数人更为熟悉的罗马数字不仅使用了简单易懂的符木标记，还使用了与希腊数字相似的字母系统。实际上，罗马数字与我们在前文中想象的手进制数字系统有一个明显的相似之处，我们可以把罗马数字中的I和V分别视为表示手指和手的符木标记。希腊数字用不同的字母表示10和100的倍数，而罗马数字则直接采用字母重复出现的办法，同时，他们还通过有趣的位置变化，表示某种特殊意义。在罗马数字中，所有字母都是按照数值由大到小的次序排列的，因此，如果一个比较小的数字出现在比较大的数字之前，就表明这个小的数字应该被减掉，因为它仅仅起修正作用。
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例如，大家想一想钟面上的罗马数字。在“4”这个位置上的数字是什么样子？熟悉罗马数字的人都知道，对应的数字是“IV”，其中“V”表示5，而“I”则表示“减去1”，因此整个数字表示4。经常有人错以为罗马数字中的4是IIII这种更为简单的表现形式，历史上也确实有过这个奇怪的习惯，在表盘和钟面上用IIII表示4（尽管9仍然被表示成IX）。但是，看到罗马数字时，我们的理解通常都是正确的。
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在我们看来，古罗马人和古希腊人使用的这两套系统极不方便。与古巴比伦人相比，他们确实落后了。的确，人类大脑在处理六十进制的数字时有些麻烦，这个事实也反映了人类短时记忆的特点——人脑一次只能处理七八条信息。正因如此，人们习惯在电话号码（通常超过7位数）中间插入空格。相较于六十进制，五进制和十进制都更容易处理。但是，出现时间更早的六十进制在很多方面具有后来者无法比拟的优势。
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当然，罗马数字几乎不占据任何优势，因为它们实在太笨重了。大家可以比较罗马数字中的年份，如1999年对应的罗马数字是MCMXCIX。（罗马数字偶尔也会占上风，例如2000年的表示方式较为简洁——MM。）大家也许会感到奇怪，我们为什么偶尔还会使用罗马数字呢？我认为，这可能是因为截至20世纪，人们一直对古典文化存有莫名其妙的敬畏之心。一些多年来一直被视为丑陋不堪的古典建筑风格重新流行起来，原因也在于此。与阿拉伯（印度）数字相比，罗马数字的唯一优势就是曲线比较少，刻在石头上比较容易。
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更令人意想不到的是，罗马数字还有一个非常严重的问题：它们会大大增加算术基本运算的难度。比如，若计算XXIII和XLV的和，使用罗马数字你将无法找出一条简单法则（数学界青睐的就是简单法则）。但我们可以很容易地教会孩子们如何求23与45的和，这是因为我们使用的是一个位置计数系统，从数字所在的列就可以看出它是10的多少次幂。根据这个特点，人们总结出了算术的运算法则（参阅第6章）。罗马人在科学上几乎毫无建树，与他们使用不方便的罗马数字之间可能脱不了干系。
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就像邻居借羊时使用的最原始的符木一样，古时的希腊数字和罗马数字都不是数学工具，人们也不会像后世的数学家那样，利用这些数字从事数学研究。尽管古希腊人有研究数学和科学的传统（我们很快就会讨论这个问题），但是他们对数字的理解不同于现代人。我们暂且不讨论这个问题，而是继续我们的思想实验，看看史前的那位山羊主人可以利用符木系统完成哪些基本活动。
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你也许认为负数对于这些早期算术师而言还是一个非常遥远的事物。按照现代人的理解，事实确实如此。你不可能有–2头山羊，我也拿不出–2个物品，无论这个物品是什么。因此，–2不可能直接表示现实世界中的任何对象。然而，在记账时，–2却是一个重要的概念，即使这个概念在刚开始的时候没有表示成负数的形式。作为一名史前农民，我把一只手的山羊借给邻居，那么在邻居归还之前，我的羊群就少了一只手的山羊。尽管我记录的是缺少一只标准手（正值）的山羊，但是实际上，符木上的刻痕或者弯曲的手指都表示山羊的数量是负数。邻居归还山羊时，每归还一头（正值）山羊，我就会填平符木上的一条刻痕，直到5条刻痕都被填平。第一次使用符木时，我们在不使用数字的条件下学会了计数，而现在，在没有意识到负数这个概念的条件下，我们学会了利用符木进行负数的运算。
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即使山羊被借走了，它们依然是整个事件的核心。无论是负值还是正值的手，表示的都是位于现实世界某个地方的一群实实在在的对象。但是，数学家若要自由翱翔，就必须切断与世俗之间的联系。
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不同的文明意识到这个问题的时间有先有后，但是在西方传统中，古希腊人是第一个觉醒的。由于希腊人没有采用世人一致认可的科研方法，而且犯了很多错误，所以现在很多人在提到希腊的科学水平时都多少有点儿蔑视之意。希腊人在数学界的影响力也十分有限。但是，即使他们毫无建树，我们也应该感谢这个民族，因为是古希腊人促使数学取得了有史以来最重要的一个进步。他们清楚无误地宣告，数字不一定非得与现实世界中的具体对象相对应。某个古希腊教派深信，整数突破了物品数量统计的羁绊，具有一种全新的意义。
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数学世界的探奇之旅 第3章 毕达哥拉斯：万物皆是数字
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传说中，毕达哥拉斯学派将一条座右铭刻在门楣上：万物皆是数字。毫无疑问，我们大多数人对毕达哥拉斯学派都非常陌生。关于这个古希腊学派，我们唯一确定的可能就是毕达哥拉斯定理，即直角三角形斜边边长的平方等于其他两边边长的平方和。其实，这条定理的基本概念早在毕达哥拉斯之前就已被人提出来了，但是，定理的证明可能要归功于毕达哥拉斯或者他的门徒。
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几何学（我将在第5章深入讨论）似乎是人类继整数计数之后最早探讨的一个数学领域。我们不清楚几何学起源的确切时间和具体过程。大多数古希腊人认为几何学源自埃及，但其实一些描述简单几何关系（如毕达哥拉斯定理）的相似概念，在巴比伦、美索不达米亚和东方出现的时间更早。古埃及把从事几何研究的人称作“司绳”（rope stretcher），暗示这门学科与从事建筑测量及土地分割的人员有关。几何学之所以成为人类较早研究的学科之一，从这个表达上也许可以略知一二。［现代英语中的“几何学”（geometry）一词源于希腊语中“地球”和“测量”这两个词。］但是，毕达哥拉斯及其门徒研究的并不是这种需要亲力亲为的实用数学。
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毕达哥拉斯出生于公元前570年左右，古希腊的数学研究就是从那个时期开始的。据说，毕达哥拉斯去过埃及。他从埃及人那里汲取了一些想法和概念，后来都被纳入毕达哥拉斯学派的信仰体系，该学派的主要成员被人称作数学家（mathematikoi）。前文的思想实验告诉我们，数字的起源可能与现实世界密切相关。毕达哥拉斯学派的功劳则是将这个概念提升到基本法则的高度，但与此同时，他们也将数学与简单数字区别开，使数学有可能摆脱束缚，无须直接应用于我们周围的物质世界。
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毫无疑问，毕达哥拉斯学派超越了计数的限制。他们认识到图形的重要作用，并将图形变成一个重要工具，从而拉开了现代数学与现代科学的漫长历史的序幕。从一定程度上看，所有人都会总结规律（事实上，对周围世界有反应的所有生物都会如此）。如果做任何事都需要从头学起，那么人生的复杂程度就会远胜当前。但实际情况并非如此。借助规律，我们不仅可以认识周围的世界，还可以对探知的一切做出反应。例如，假设我设计了一个可以打开卧室窗户的机器人。事实上，所谓的卧室窗户其实是一扇门，正对着一个法式小阳台。因此，我设计的这个机器人必须学会把钥匙插进位于墙上某个位置的锁孔，然后转动钥匙，再按下位于另一个位置的门把手，最后推开门。不仅如此，它还必须控制好力量的大小，以免损坏这扇门。
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我家客厅的窗户与之相同，但是位置不一样。如果我把这个机器人搬到客厅，那么尽管我编写的程序十分精确，但它仍然会找不到目标，也无法完成打开窗户这个任务。当然，如果客厅采用的是上下推拉式窗户，那么后果就会更加严重。在掌握门窗等事物的规律之后，我们就可以有针对性地采取应对措施，而不需要学习每一扇窗户的打开方法。
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规律在我们人类了解宇宙奥秘的过程中发挥了同样的作用，所有科学都在利用规律的基础上简化了理解过程。如果必须逐个地研究所有原子，我们将永远无法探知宇宙的秘密。但是，如果我们可以找出原子的一般规律，并将这条规律应用于所有原子上，我们的研究就可以取得进展。
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在毕达哥拉斯学派的鼎盛时期，古希腊人还没有提出原子的概念（“原子”一词源于希腊语中的atomos，意思是“不可分割的东西”），但是他们仍然强烈地感受到了规律的重要性，包括几何图形的规律、音乐和弦的规律和数字的某些规律。然而，他们对规律的利用达到了过犹不及的地步，这也是人类经常犯的一个错误。我们非常善于无中生有，总结出某种根本不存在的规律，包括视觉规律（例如，从一片阴影中看出一个妖怪）和统计规律（例如，我们总希望从一系列事件中总结出前因后果，即使这些事件纯粹是随机事件，毫无联系可言）。
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别忘了，毕达哥拉斯的这些门徒不仅仅是数学家，还是一个学派的成员，有独特而奇怪的信仰，例如，他们特别反感吃豆子。据说，这种信仰源于某些神秘的象征意义，因为豆子的外形与人类的某个器官相似，所以对于他们来说，吃豆子的行为与同类相食没有多大区别，这种行为对于这个素食主义教派而言是不合适的。
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在毕达哥拉斯的门徒看来，很多重要的规律都与整数密切相关。他们认为，宇宙万物的基础是数字，数字不仅是人类的发明创造，还揭示了现实世界的基本架构。与所有凭借一己之力在这个世界中谋取立足之地的生物一样，数字也被他们赋予了各种属性。例如，数字1与思想及其独一无二的特性相关；数字2表示意见，因为他们认为意见是需要分享的；数字3与完整性有关，这是因为所有完整的事物都必须包括开端、中间和结尾，具体的事物需要三个维度才能定义它们的物理存在。
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