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亚里士多德还相信时间和空间都可以被分割成许多无穷小的部分（亚里士多德不是原子论者）。现代物理学家大多认为这个观点可能不正确。仅仅因为物理现实的其他方面可以量子化（可以分割成离散粒子），时间和空间就一定也如此吗？考虑到万有引力已经被引入量子框架，他们更加确信这个观点不正确了。表示空间粒度效果最好的备选量度就是普朗克长度和普朗克时间，这两个单位的值是由光速c、引力常量G和普朗克常量h三个基本常数决定的。
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当人们建立这两个普朗克单位时，它们被视为宇宙的基本属性，而不是人为创造的两个概念。普朗克长度等于，大约是1.6×10–35米，普朗克时间是，大约等于5.4×10–44秒。还有一个普朗克单位是普朗克质量，即，大约等于2.2×10–8千克。虽然人们很少提及普朗克质量，但这是唯一一个与我们体验过的事物具有可比性的普朗克单位。（这些单位的值非常小，人们从来没有用过其他任何方式来衡量这些值。）如果时间和空间可以量子化，那么我们有可能（尽管无法确定）使用这些值来测算它们的粒度。（普朗克质量肯定不是质量的最小单位，它大约是电子质量的1022倍。有人认为，普朗克质量可能是基本粒子的最大可能质量。）
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有趣的是，可能出现真正的无穷的一个领域是量子物理。原子、电子等量子的属性不同于我们在“宏观”世界中熟悉的各种事物的属性。例如，量子的一个特性叫作自旋（量子自旋并不是指真的自旋，而是借用自旋物体来比喻某种属性），但是我们无法用具体的值来表示它。在任一特定方向上测量，我们会发现量子自旋的方向可能“向上”，也可能“向下”。
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在测量之前，我们无法预知测量结果，因为粒子的自旋没有实值。其实，自旋就是一种叠加状态，比如，粒子有27%的可能性向上自旋，有73%的可能性向下自旋。也就是说，如果我们在某个特定方向上重复测量，测量结果是“向上”和“向下”的概率分别是27%和73%。但是，我们只能测量概率（这要归功于薛定谔方程），而无法预知测量结果。
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在叠加状态下，自旋可以被视为一种方向。我们可以把它想象成箭头，箭头朝上表示上旋的可能性是100%，箭头朝下则表示下旋的可能性是100%。在叠加状态下，箭头指向某个中间方向。（可能性为各占一半，箭头指向水平方向。）由此可见，我们实际上得到了一个实数——一个无穷小的数，其表现形式是叠加状态的方向。因此，以这些粒子自旋为基础的量子计算机的潜能远远超过二进制的传统计算机。如果准备入侵现实世界，也许它会通过量子位，甚至只能通过一种间接的方式来实现这个目的，因为我们永远无法知道它的确切值。但是，这种入侵是真实的，因为它会对测量结果产生直接影响。
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然而，有一件事肯定是真实无误的。尽管对于数学家而言，无穷就是一个雅致的玩具，但是在科学研究中却经常会招致难以解决的麻烦。在物理学领域，例如在研究前面讨论的电子反冲时，无穷大概念经常会发挥更大的价值。无论我们研究的是黑洞内部结构，还是反冲电子这种常见现象，无穷都有可能悄无声息地出现在我们眼前。电子还会导致另外一个问题，因为人们认为电子是没有维度的点粒子。但是，这就意味着随着我们越来越接近电子，电场强度就会趋近于无穷大，而离电子最近的肯定是它自己。
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当用量子电动力学解释光与物质粒子之间发生的电磁相互作用时（这种电磁相互作用对于我们所有的日常体验来说几乎都是不可或缺的），无穷引起了无数麻烦，电子与自身电场发生相互作用产生的自能就是其中之一。然而，人们普遍认为，就预测观测值而言，量子电动力学是迄今最成功的理论。那么，它是如何处理无穷问题的呢？答案是重正化，归根结底就是用观测值取代那些荒谬的无穷值。
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在遇到无穷时，物理学家并不总是束手无策，因为他们随时可以借助微积分中的潜无穷概念来化解危机。但令人尴尬的是，物理学理论似乎随时会抛出足以导致麻烦的实无穷概念。物理学家马克斯·泰格马克认为，如果我们支持那些容许实无穷概念存在的理论，就等于给未来的物理学制造麻烦。
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他特别指出，宇宙膨胀说就是这种理论的一个代表。宇宙膨胀说是帮助早期大爆炸理论解决某些问题的“补丁”。该学说认为，大爆炸发生之后，宇宙空间以远超光速的速度急剧膨胀，我们现在可观测到的宇宙从此开始了它的生命历程。现行的宇宙膨胀说与观测结果的一致程度比较高。（从某种意义上讲，这也是理所应当的，因为宇宙膨胀说的创立初衷就是实用，为了与新数据吻合，又修改了若干次。但是，自现代宇宙膨胀说建立之后，已经有很多观测结果迟迟不能得到合理的解释。）
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泰格马克称，麻烦的根源就在于膨胀说秉持宇宙体积可以无限膨胀的观点。根据这个观点，最终将会形成一个空间无穷集，将所有可能的物理情况都包含其中，导致膨胀说在诸多领域里完全丧失做出明智预测的能力。如果一切都有可能，我们就无法准确预测任何结果，科学的意义也会遭到严重破坏。从这个角度看，宇宙膨胀说与致命计算机病毒有几分相似，如果听之任之，所有的科学理论都将遭遇灭顶之灾。
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泰格马克指出，就像橡皮筋因为原子数量有限而无法无限拉伸一样，根据时空的量子性质，宇宙的膨胀也应该是有限度的；而且，如果物质真的具有连续性，那么这个说法基本上就是对的。他认为，有了这个限度，一切问题都将迎刃而解。无论是密度无限大的黑洞奇点，还是阻碍量子引力理论发展的数学难题，都不再是问题。他大声疾呼：我们不需要实无穷！
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最后，泰格马克说：“我们物理学家面临的挑战是找到这个简便有效的方法，用不包含无穷的方程描述真正的物理定律。我们必须先对无穷提出质疑，才可能积极投身这项探索活动。我认为，我们有必要把它赶出物理学界。”尽管泰格马克的话有些特立独行，但是他的思想可能代表了科学的一个新起点。
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与令人尴尬的物理学领域的无穷不同，康托尔研究的数学领域的无穷对日常生活与科学研究从未产生任何重大的影响。从研究数字与现实之间关系的角度看，我们更想知道哥德尔的研究成果，以及选择公理因为自身问题而导致的随机性到底会产生什么样的影响。集合论是数学的基础，但它自身却有一个有趣的缺陷。或许这些新发展的最大意义是告诉我们，将数学视为现实世界的直接基础，会带来一定的风险。果真如此的话，就意味着现实也具有随机性。
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尽管直到康托尔去世，他的无穷理论也没有得到广泛应用，但是物理学却开启了一个新的发展方向，使数学的核心地位得到了史无前例的巩固。从此以后，人类对世间万物的认知，以及人类的日常生活，几乎都将因此而发生改变。
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数学世界的探奇之旅 [:1701011755]
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数学世界的探奇之旅 第13章 爱因斯坦：量子物理与抽象数学
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学校里有一个非常奇怪的现象：在中学毕业之前，学生们学习的物理学知识与19世纪末的物理教学内容完全相同。对于1900年以后的物理学，他们可能略知一二，但是，除非他们上大学之后继续学习物理，否则就不大可能了解这门科学在20世纪到底取得了哪些发展（更不用说21世纪的物理学了）。
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其他学科则几乎不可能发生这样的情况。例如，如果英语课只介绍19世纪90年代之前的文学作品，大家肯定会觉得十分奇怪。但是，从1900年至今，文学领域的变化远比不上物理学，因为20世纪产生了两大革命性理论——相对论和量子论，1900年之前的所有物理学知识都无法逃脱被修改或者被摒弃的命运。作为新科学的组成部分，这两大理论都从数学那里获得了重要的推动力。
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相对性这个基础概念要追溯至伽利略时代，痴迷于研究对称的人（参见下一章）肯定认为相对性与对称的本质——不变性有关。所谓不变性，是指不会随周围环境的变化而变化的力、物体或物体的某种特性。也就是说，即使发生某个特定变化，某事物的活动方式与结果仍然保持不变。在伽利略提出的相对性原理中，不变与稳态运动有关。
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众所周知，伽利略曾经对人们深信不疑的几个古代信条提出过严厉批评，他提出相对性原理也是出于这个目的。据传，伽利略在一次外出游湖时证明了相对性这个概念。当时，他和几位朋友在皮耶迪卢科湖上泛舟，船以某个固定速度前进。伽利略问谁身上有比较重的物体，他的朋友斯泰卢蒂拿出自己的钥匙，递给伽利略。这把钥匙是铁制的，很大很结实，如果丢失，将很难配制。伽利略接过钥匙，朝着正上方用力抛出去。因为6名船工正在奋力划桨，因此船前进的速度非常快。斯泰卢蒂赶紧向船后方跑去，希望能接住掉下来的钥匙。但是，另外几名朋友拉住了他。最终，钥匙垂直掉下来，落在伽利略的大腿上。
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伽利略通过这个“实验”证明了他提出的观点：在稳态运动的物体上，例如那条船，我们可以顺利完成任何物理实验，实验过程中不会受到船以外世界的任何影响，实验结果与我们在静止状态下完成的实验没有任何不同。如果伽利略坐在岸上不动，斯泰卢蒂知道钥匙肯定会垂直上升然后垂直下落。但伽利略却知道，在船上抛钥匙也会得到同样的结果。所谓“相对性”，就是伽利略发现相对钥匙而言，船并没有移动。只有相对于其他事物，才可以发现或探查到稳态运动。所以，伽利略规定了“船以外世界”这个条件。比如，与湖岸相比，船正在运动，并且我们可以通过实验方便地探查出船的运动状态。