1701014360
1701014361
据历史考证，最早使用这一方法的是公元前7世纪古希腊数学家泰勒斯。这里，重要的价值不在于“对顶角相等”的命题本身，而在于泰勒斯提供了不凭直观和实验的逻辑证明。弄清要不要证明才是关键。
1701014362
1701014363
古希腊是奴隶制国家。当时希腊的雅典城邦实行奴隶主民主政治。由男性公民组成的民众大会有权制定法律，处理财产、祭祀、军事等问题（注意：广大的奴隶、妇女、外来人不能享受民主权利）。奴隶主的民主政治和皇帝君王独裁的政治，是有所区别的。古希腊的奴隶主民主政治，彼此间的不同意见需要用理由说服对方，于是学术上的辩论风气随之兴起。为了证明自己坚持的是真理，就需要证明。于是，古希腊的学术不仅要解决真理“是什么（what）”的问题，还要回答“为什么（why）”的问题，“唯理论”的学术风气很盛。
1701014364
1701014365
在这样的政治文化氛围中，数学也就不仅要回答“什么是数学真理”，还必须回答“为什么”它是数学真理。于是“对顶角相等”命题的证明就是可以理解的了。试想：为了证明自己的学问是真理，先设一些人人皆同意的“公理”，规定一些名词的意义，然后使要陈述的命题成为公理的逻辑推论，岂不是很有说服力吗？
1701014366
1701014367
1701014368
1701014369
1701014370
▲ 图2.3.4 对顶角相等
1701014371
1701014372
重要的几何命题是世界各国都有的。比如，中国很早就发现了勾股定理，古希腊称之为毕达哥拉斯定理。中国为了说明勾股定理的正确，也讲“为什么”，使用了“出入相补”原理，用拼接的方法加以证明。但是，中国的古代数学，多半以“官方文书”的形式出现，目的是为了丈量田亩、分配劳力、计算税收、运输粮食等国家管理的实用目标。虽然中国古代社会也说理，却没有古希腊那样的“自由学术辩论”，唯理论没有形成大的风气。因此，中国古代没有用公理方法进行学术探讨的传统。文化上的差异，导致了数学上的分别。
1701014373
1701014374
对于古希腊用公理化体系表达科学真理的方法，后人称它为“理性思维”的一种最高形式。这一点，中国传统文化比较薄弱和欠缺。我们应当实行“拿来主义”，认真加以学习和体会，努力提高我们的思维能力。数学是体现理性思维最好的载体。所以，我们学习数学，不仅要记住定义和定理，更重要的是能学会这种理性思维的方法。
1701014375
1701014376
但是话说回来，我们不能事事、时时使用公理化的逻辑思维方法。那会成为书呆子的。我们仍然应当重视自己的直观观察能力，运用测量、估计的手段，使用物理的、化学的实验方法，采用各种证据来说明自己所主张的结论是科学的真理。公理化方法，只是其中的一种（然而是十分重要的一种）而已。
1701014377
1701014378
直观和理性，是整个思维过程的两个方面，相辅相成。
1701014379
1701014380
1701014381
1701014382
1701014383
数学文化教程 [:1701013710]
1701014384
数学文化教程 第四节 黄金时代：从牛顿到高斯
1701014385
1701014386
欧洲中世纪的漫漫长夜逐渐过去，历史的车轮滚滚向前。数学的巨人不断出现，形成了连绵的科学高峰。当中国的明清两代皇帝坐稳江山的时候，科学落后的祸根已经埋下。抚今追昔，“科学是第一生产力”的论断，似乎更加清晰了。
1701014387
1701014388
牛顿（Isaac Newton，1642—1727，图2.4.1）的生平，我们将在后面提到。这里先介绍牛顿所面临的数学问题。
1701014389
1701014390
1701014391
1701014392
1701014393
◀ 图2.4.1 牛顿
1701014394
1701014395
1701014396
借助于17世纪法国哲学家、数学家笛卡儿（Rene Descartes，1596—1650）于1637年提出的坐标几何的概念，曲线、方程、函数等概念得到了完美的统一。大家知道，二次函数可以表示匀加速运动的距离s和时间t之间的关系。我们就从观察抛物线函数y=x2的性质说起。
1701014397
1701014398
见图2.4.2，通过观察我们发现，研究曲线的切线有助于研究图像本身。在y=x2的顶点（x=0处），切线平行于x轴，斜率为零；在顶点的左边，函数值随x的增加而减少，与此相应的切线的斜率一直是负的；而在曲线顶点的右边，函数值随x的增大而增大，这时的切线斜率是正的。这样一来，如果能够把函数图像的切线斜率计算出来，函数本身的性质就可以得到进一步的了解。正是这样创新的想法，导致了微积分的产生。
1701014399
1701014400
这是石破天惊的科学事件。牛顿概括前人的成果，完成了微积分学的创立，并且把力学用微积分方法重新加以整理，成为物理学的工具。世界上的物体运动状态的改变，无非是力的作用：重力、热力、电力、原子核力等。这样，大到天体运行，小到电子旋转，微积分成为刻画运动的基本工具。数学对于人类的价值，由此可以想见。
1701014401
1701014402
和牛顿同时研究微积分的还有德国的莱布尼茨（Gottfried Wihelm Leibnitz，1646—1716）。他的微积分研究从几何出发，与牛顿殊途同归。从现有文献来看，牛顿在微积分的研究上比莱布尼茨早一些，但是莱布尼茨发表微积分论文的年代却比牛顿要早些。位于英伦海岛上的英国人和位于欧洲大陆的德国人曾为微积分的发明优先权争得不可开交，英国人甚至不愿和欧洲大陆的数学家来往，结果是英国人在牛顿之后缺乏大数学家。实际上，牛顿和莱布尼茨都是微积分的发明人，都对人类做出过巨大的贡献。谁早谁迟不必过分计较，而意气用事更不足取。英国人为争微积分发明权作茧自缚，吃亏的是自己。
1701014403
1701014404
1701014405
1701014406
1701014407
▲ 图2.4.2 抛物线切线的变化
1701014408
1701014409
18世纪的数学家在牛顿和莱布尼茨的基础上创造了许多辉煌的数学成就。其中欧拉（Leonhard Euler，1707—1783）是最多产的数学家，他先后在瑞士和俄国工作，著作累累，不及备述。